【正文】 jjjx a x???? ? ??對 ， 令? ?( , , , ) ( ) ( ( ) ( ) ) 2201 2 bn aQ a a a f x f x x dx? ? ?? ? ? ??( , , , )0 0 1iQ ina? ???由 多 元 函 數(shù) 取 得 極 值 的 必 要 知 ：條 件即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , )02 0 0 1nbj j iajiQ x f x a x x d x i na ? ? ????? ? ? ? ? ???? ?? ??即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0nbbi j j iaajx f x x d x x a x x d x? ? ? ? ???? ???( ) ( ) ( ) ( , , , )001n b j i jajx x x d x a i n? ? ??? ? ?? ?內(nèi) 積 形 式 ： ( , ) ( , ) ( , , , )001n i j j ija f i n? ? ??? ? ??( , ) ( , ) ( , , , )001n i j j ija f i n? ? ??? ? ??( ) ( ) jx f x a?因 此 ， 若 若 是 的 最 佳 平 方 逼 近 ， 則 應(yīng) 滿 足 ：( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 1 0 0 01 0 1 1 1 1 101nnn n n n n nafafaf? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?法方程組 ! * ( , , , , )0 1 2iG a d a i n??記 作 ： ， 從 中 解 出則 **( ) ( )0niiix a x???? ?*( ) ( ) 222 20njjjx a x f f? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??對 ， 都 有定理 * * *( , )f f f? ? ? ?? ? ? ? ?22222?均 方 誤 差 ：平方誤差 * * *( , ) ( , )f f f? ? ?? ? ? ?* ( , )iif a f??? ?22*( , ) ( , )f f f ???( ) [ , ] { , , , , }, ( )20 1 1 1nf x C s p a n x x x x?? ? ? ?設(shè) ， 取 ， 則( , ) 10 1 1ijij x dx ij?? ??? ???( , )/ / ( )( , )/ / / ( )( , )/ ( ) / ( ) / ( )00111 1 2 1 11 2 1 3 1 21 1 1 1 1 2 1 nnafnafnG a dafn n n???? ? ? ? ???? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ?所 以, ( ) .01 ni n na P x a a x a x? ? ? ?解出 代入2. 最佳多項式平方逼近 (1) (2) 當(dāng) ( ) [ , ] ，f x C a b? ()令 x b a t a? ? ?() xf x e?例 3 求 在 [1,1]上的一次最佳平方逼近多項式 。 解 ( ) , ( )011x x x????( , ) l n( ) .1 200 0 121 1 2 1 14 7822d f x dx?? ? ? ? ? ? ??( , ) ( ) . .1 211 0 11 2 2 1 0 6 953d f x x dx?? ? ? ? ? ??由..0111 1 147211 0 60923aa???? ?? ????? ?? ????????????解 得 . , .010 9 3 4 8 0 4 2 6 9aa??所 以 * ( ) . .1 0 9 3 4 3 0 4 2 6 9P x x??()22 0 0 1 1f a d a d? ? ? ?平 方 誤 差( ) ( . * . . * . )1 20 1 0 9 3 4 8 1 1 4 7 0 4 2 6 9 0 6 0 9x d x? ? ? ??. 47 1 2 9 3 1 0 ???() 21f x x??例 4 求 在 [0,1]上的一次最佳平方逼近多項式 。 ( ) c o s [ 0 1 ]f x x??例 2 求 在 ， 上 的 最 佳 一 次 平 方 逼 近 多 項 式 。解 [ ( ) 1 ]x? ? 的 情 形01( ) 1 , ( ) , { 1 , } .x x x H s p a n x?? ? ? ?取? 100 0( , ) 1 1dx?? ???101 01( , )2xdx?? ???1 211 01( , )3x dx?? ???10 0( , ) c o s 0f x d x?????11 202( , ) c osf x xdx???? ? ??? 法 方 程 組 為 ： 0 211 1 / 2 01 / 2 1 / 3 2 /aa ???? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???解 得 ： 0 1 .2 1 5 9,a ? 1 2. 43 17a ??( ) c o s [ 0 1 ]f x x??? 在 ， 上 的 最 佳 一 次 平 方 逼 近 多 項 式 為( ) 1 .2 1 5 9 2 .4 3 1 7p x x??( ) ( )325f x x P x a b x? ? ?例 3 求 在 [0,1] 上 形 如 最 佳 平 方 逼 近 多 項 式 .3. 用正交多項式作最佳平方逼近 0 0 0 1 0 001 0 1 1 1 1101( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , ) ( , )nnnnn n n nafafaf? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???[ , ] { ( ) , ( ) , , ( ) }0111 nx x x? ? ??在 上 選 取 勒 讓 德 多 項 式 為 基 函 數(shù) ， 則G a d?法 方 程 組0 0 0 01 1 1 1( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )n n n nafafaf? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2( ) ( ) ( )( , )( , )( ) ( )bkkak bkkkax f x x dxfax x dx???????? ? ???( ) [ , ] .01xf x e ??例 5 求 在 上 的 二 次 最 佳 平 方 逼 近 多 項 式解 ( ) ( ) 112211 2122 tx t t x f x F t e ?? ? ? ? ?令 ， 即 ， 代 入 得 ：( ) , ( ) , ( ) 20 1 2 311 2tp x p t t p t ?? ? ?( , ) .( , )110 220 1001 1 71 832tFpa e dtpp ??? ? ??( , ) .( , )111 221 1113 0 84 522tFpa te dtpp ??? ? ??( ) . . .2 22 0 1 2 31 0 20 98 0 84 52 1 64 832tp t a a t a t t?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) .( , )1212 222 1221 3 1 0 1 3 9 922tFp ta e d tpp ?? ?? ? ??()( ) ( ) 22 0 1 23 2 1 1212xp x a a x a ??? ? ? ? ?. ( ) . ( ) .20 2 0 9 8 2 1 0 8 4 5 2 2 1 1 6 4 8 3xx? ? ? ? ?( ) [ , ] ,()1122fb a b axtx a bt????? ? ? ?一 般 區(qū) 間 上 則 令課后作業(yè) : 復(fù)習(xí)思考題 : 3 習(xí)題五 (128頁 ) 2(1)、 ４、９、 10