【正文】 ①－②得，…………………3分 ∵an0 ∴=2a1+2a2+…+2an－1+an， 即=2Sn－an ∵a1=1適合上式 ∴=2Sn－an(n∈N+)……………………5分 （2）由（1）知=2Sn－an(∈N+) ③ 當(dāng)n≥2時(shí)， =2Sn－1－an－1 ④③－④得－=2(Sn－Sn－1)－an+an－1=2an－an+ an－1= an+ an－1∵an+an－10 ∴an－an－1=1……………………8分∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，可得an=n………………9分（3）∵∴ ⑤……………………11分當(dāng)n=2k－1，k=1，2，3，……時(shí)，⑤式即為 ⑥依題意，⑥式對(duì)k=1，2，3……都成立，∴λ1………………12分當(dāng)n=2k，k=1，2，3，…時(shí)，⑤式即為 ⑦依題意，⑦式對(duì)k=1，2，3，……都成立，∴……………………13分∴∴存在整數(shù)λ=－1，使得對(duì)任意n∈N，都有bn+1bn來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難已知的首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：表示數(shù)列的前n項(xiàng)和. （Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，求S30； （Ⅱ）當(dāng)S30取得最小值時(shí)，求k的值.答案：.解；（Ⅰ）當(dāng)k=2時(shí)，………………2分則……………………4分…………6分（結(jié)果不要求最簡(jiǎn)）。 （Ⅱ）………………8分………………10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。∴當(dāng)S30取得最小值時(shí)，k=15。……………………12分來(lái)源：07年石家莊市模擬題題型：解答題，難度：較難數(shù)列，(1)是否存在常數(shù)、使得數(shù)列是等比數(shù)列，若存在，求出、的值，若不存在，說(shuō)明理由。(2)設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，.答案：設(shè) ，即 …………………………… (2分)故 …………………………… (4分)∴ ………(5分)又 ……………………………………………………………………(6分)故存在是等比數(shù)列 ……………(7分)(2)證明：由⑴得 ∴，故 ……………………………………………… (8分)∵ ………………………… (9分)∴ ……………………………………（11分）現(xiàn)證.當(dāng)，故時(shí)不等式成立 ………………………………………………（12分）當(dāng)?shù)?，且由，? …………………………………… （14分）來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}具有以下性質(zhì)：①a1=1；②當(dāng) (1)請(qǐng)給出一個(gè)具有這種性質(zhì)的無(wú)窮數(shù)列，使得不等式 對(duì)于任意的都成立，并對(duì)你給出的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證（或證明）； (2)若，其中，且記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn，證明：答案：(1)令，則無(wú)窮數(shù)列{an}可由a1 = 1，給出.顯然，該數(shù)列滿足，且 ……………………6分 (2) ………………………………………………8分又來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難在數(shù)列中，.(1)：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案：（1）， ， ，則為等差數(shù)列， ，．（2）兩式相減，得．來(lái)源：08年高考全國(guó)卷一題型：解答題，難度：中檔已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d＞0，且第二項(xiàng)、第五項(xiàng)、第十四項(xiàng)分別是一個(gè)等比數(shù)列的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝（n∈N*），Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整數(shù)t，使得任意的n均有Sn＞總成立？若存在，求出t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：(1)由題意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2， ……………………… 2 分整理得2a1d＝d2．∵a1＝1，解得（d＝0舍），d＝2． ………………………………………… 4 分∴an＝2n－1（n∈N*）． …………………………………………………… 6 分(2)bn＝＝＝（－），∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝［（1－）＋（－）＋…＋（－）］＝（1－）＝． …………………………………… 10 分假設(shè)存在整數(shù)t滿足Sn＞總成立.又Sn+1－Sn＝－＝＞0，∴數(shù)列{Sn}是單調(diào)遞增的． ……………………………………………… 12 分∴S1＝為Sn的最小值，故＜，即t＜9．又∵t∈N*，∴適合條件的t的最大值為8． ………………………………………… 14 分來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難已知數(shù)列{an}中，a1=2，a2=4，是函數(shù)f(x)=an1x23an+an+1 (n≥2)的一個(gè)零點(diǎn).（1）證明是等比數(shù)列，并求{ an }的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Sn；（3）是否存在指數(shù)函數(shù)g(x)，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，有成立？若存在，求出滿足條件一個(gè)g(x)；若不存在，說(shuō)明理由.答案：(1) 由累差法易得an =； (2) 由錯(cuò)位相減法易得Sn =(n1)+2； (3)存在,例如g(x)= ,用裂項(xiàng)法求和易得證。 或用放縮法證明：設(shè),a0且a≠1 ， 當(dāng)時(shí)，顯然有 ，故存在這樣的指數(shù)函數(shù)來(lái)源：09年浙江杭州市月考一題型：解答題，難度：較難已知函數(shù), 且的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn), 數(shù)列為等差數(shù)列.(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 設(shè)問(wèn): 是否存在自然數(shù)m和M, 使得不等式恒成立? 若存在, 求出的最小值。 若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：(1)由題意得即. 令, 則令,則令, 則……(3分)設(shè)等差數(shù)列的公差為d, 則……(5分)∴.……(6分)(2)由(1)知: . n為奇數(shù)時(shí), ……(7分)∴…………①…………②……(9分)由①－②得: ∴……(10分)設(shè), ∵∴, ∴為n的增函數(shù). ……(12分)當(dāng)時(shí),而∴……(13分)由此易知: 使恒成立的m的最大值為0, M的最小值為2, M－m的最小值為2. ……(14分)來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．記，求所有的正整數(shù)，使得能被8整除．答案：記　注意到　　，可得因此，Sn+2除以8的余數(shù)，完全由Sn+Sn除以8的余數(shù)確定，故由(*)式可以算出各項(xiàng)除以8的余數(shù)依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一個(gè)以6為周期的數(shù)列，從而故當(dāng)且僅當(dāng)來(lái)源：05上海競(jìng)賽題型：解答題，難度：較難已知數(shù)列滿足：，≥．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)求使不等式＜成立的所有正整數(shù)、的值．答案：(1)由2 an+1 = 3an－an－1（n≥2），得 2（an+1－an）= an－an－1，∴，因此數(shù)列{ an－an－1 }是以a2－a1 = 1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ∴，……………………………………………4分于是 an =（an－an－1）+（an－1－an－2）+ … +（a2－a1）+ a1 ==． ……6分(2)由不等式，得 ，∴，即 ，…………………8分所以 2＜（4－m） 2n ＜8． ∵ 2n為正偶數(shù)，4－m為整數(shù)，∴（4－m） 2n = 4，或 （4－m） 2n = 6，∴ 或 或 或 解得 或 或 或 經(jīng)檢驗(yàn)使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值為（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．…………………………12分說(shuō)明 問(wèn)題（1）的歸納做法是：由已知可得，∴ ，，……，于是 ．來(lái)源：08年高考探索性專題題型：解答題，難度：較難設(shè)數(shù)列的首項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明，其中為正整數(shù).答案：（1）由 整理得 . 又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得 （2）方法一： 由（1）可知，故. 那么， 又由（1）知且，故， 因此 為正整數(shù).方法二：由（1）可知，因?yàn)?，所?.由可得，即 兩邊開平方得.即 為正整數(shù).來(lái)源：07年高考全國(guó)卷二題型：解答題，難度：中檔