顧莊學(xué)區(qū)三校月九級上第二次月考數(shù)學(xué)試卷含解析-資料下載頁
2025-01-14 03:36本頁面
【正文】 x+550）=﹣5x2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴拋物線開口向下．∵50≤x≤100，對稱軸是直線x=80，∴當(dāng)x=80時，y最大值=4500；（3）當(dāng)y=4000時，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴當(dāng)70≤x≤90時，每天的銷售利潤不低于4000元．由每天的總成本不超過7000元，得50（﹣5x+550）≤7000，解得x≥82．∴82≤x≤90，∵50≤x≤100，∴銷售單價應(yīng)該控制在82元至90元之間． 25．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，動點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿AB向點B移動；同時點P從點B出發(fā)，仍以每秒1個單位的速度，沿BC向點C移動，連接QP，QD，PD．若兩個點同時運動的時間為x秒（0＜x≤3），解答下列問題：（1）設(shè)△QPD的面積為S，用含x的函數(shù)關(guān)系式表示S；當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？試說明理由．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）可用x表示出AQ、BQ、BP、CP，從而可表示出S△ADQ、S△BPQ、S△PCD的面積，則可表示出S，再利用二次函數(shù)的增減性可求得是否有最大值，并能求得其最小值；（2）用x表示出BQ、BP、PC，當(dāng)QP⊥DP時，可證明△BPQ∽△CDP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，可求得x的值．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，當(dāng)運動x秒時，則AQ=x，BP=x，∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，∴S△ADQ=AD?AQ=4x=2x，S△BPQ=BQ?BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC?CD=?（4﹣x）?3=6﹣x，又S矩形ABCD=AB?BC=34=12，∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，即S=（x﹣2）2+4，∴S為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為x=2，∴當(dāng)0＜x＜2時，S隨x的增大而減小，當(dāng)2＜x≤3時，S隨x的增大而增大，又當(dāng)x=0時，S=5，當(dāng)S=3時，S=，但x的范圍內(nèi)取不到x=0，∴S不存在最大值，當(dāng)x=2時，S有最小值，最小值為4；（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，當(dāng)QP⊥DP時，則∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，∴△BPQ∽△CDP，∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，∴當(dāng)x=時QP⊥DP． 26．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點．（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；（2）求證：△ABC是直角三角形；（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）可設(shè)頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結(jié)合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45176。，可證得結(jié)論；（3）設(shè)出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得=或=，可求得N點的坐標．【解答】解：（1）∵頂點坐標為（1，1），∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，又拋物線過原點，∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，即y=﹣x2+2x，聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，∴∠ABO=∠CBO=45176。，即∠ABC=90176。，∴△ABC是直角三角形；（3）假設(shè)存在滿足條件的點N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=，BC=3，∵MN⊥x軸于點N∴∠ABC=∠MNO=90176。，∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時有=或=，①當(dāng)=時，則有=，即|x||﹣x+2|=|x|，∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，即﹣x+2=177。，解得x=或x=，此時N點坐標為（，0）或（，0）；②當(dāng)=時，則有=，即|x||﹣x+2|=3|x|，∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=177。3，解得x=5或x=﹣1，此時N點坐標為（﹣1，0）或（5，0），綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）． 2017年2月12日第26頁（共26頁）
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