數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題四-資料下載頁
2025-01-14 02:54本頁面
【正文】 )0相加得：f(t)f(4)0，因?yàn)椋簍≤4，故f(t)t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。三、解答題：13．已知a, b, c∈R+，且滿足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。解：因?yàn)?a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=4ab+8ac+8bc+16c。所以≥。 當(dāng)a=b=2c0時等號成立。故k的最小值為100。14．已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線的距離為2，Q是上一動點(diǎn)，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交于M、N兩點(diǎn)，對于任意直徑MN，平面上恒有一定點(diǎn)A，使得∠MAN為定值。求∠MAN的度數(shù)。解：以為x軸，點(diǎn)P到的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Q的坐標(biāo)為(x, 0)，點(diǎn)A(k, λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(xr, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=177。, ∴tan∠MAN=，令2m=h2+k23，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1nh)r=，兩邊平方，得：m2+2m(1nh)r(1nh)2r2=k2r2+2k2r3k2，因?yàn)閷τ谌我鈱?shí)數(shù)r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k23得h=177。，所以tan∠MAN==h=177。所以∠MAN=60176?；?20176。（舍）（當(dāng)Q(0, 0), r=1時∠MAN=60176。），故∠MAN=60176。15． 數(shù)列定義如下：，且當(dāng)時，已知，求正整數(shù)n．解 由題設(shè)易知，．又由，可得，當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)是奇數(shù)時，． 由，所以n為偶數(shù)，于是，所以，是奇數(shù)．于是依次可得：， 是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，是偶數(shù)， ，是奇數(shù)， ，是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，所以，解得，n＝238． 9
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