【正文】 a） 恒定源擴(kuò)散 具有一定數(shù)量的原子 Q， 由晶體表面向內(nèi)部擴(kuò)散，在t = 0 時(shí)有： x=0， C0 = Q x?0， C(x) = 0 0CC d ?00)( CxdCCxC d ????上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 當(dāng) t 0 時(shí)，由晶體表面擴(kuò)散到內(nèi)部的原子總數(shù)為 Q， 即 。在此邊界條件下解式（ 427）得 （ 432） （ b） 恒定表面濃度的擴(kuò)散 在擴(kuò)散過程中， 晶體表面的擴(kuò)散原子濃度 C0 保持不 變 ，其邊界條件可以表示成 J 據(jù)此邊界條件，解式（ 427）得 0 x ?? ?0 )( QdxxCDtxeDtQtxC 42),( ?? ?0)0,(00),0(00 0??????xCtxCtCtx，，?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 式中 是積分變量，如果令 ，得 （ 410） 其中： 式中： 稱為 余誤差函數(shù) (又稱高斯誤差函數(shù)），它在擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)等問題中常用到 。 39。x 2239。4 )( ???Dtxx??????039。4)(0239。),( dxeDtCtxC Dtxx??? ? deCtxCDtx?? ??20 22),()2( Dtxerf?????? ?????????????? ??? ? ? Dtxe r fCdeCtxC Dtx2121),(02002 ???][2 2022 22 ??? ?? dedeC Dtx???? ? ??202 ??? ??? ? de（ 433） ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 余誤差函數(shù)表 Z erf(Z) Z erf(Z) 0 0 由表可知，當(dāng) 時(shí)， C(x,t)=C0 () ≈ DtxDtxz ??? ,?????? ????????Dtxe r fCtxC21),( 0?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 由 可以估計(jì)原子平均遷移距離的數(shù)量級(jí) 。如果對(duì)固體摻入某種擴(kuò)散元素，那么 就是摻雜層厚度的數(shù)量級(jí)，故 又稱為 擴(kuò)散深度 。 在不同溫度下測定 ，可以得到擴(kuò)散系數(shù)和溫度 T 的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式為： DtDtDtx ?DtTKE BeDTD ???0)(式中： D0稱為晶格振動(dòng)的頻率因子， 是與擴(kuò)散微觀機(jī)制相關(guān)的激活能。 E?（ 443） ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 擴(kuò)散產(chǎn)生的本質(zhì)： 晶體中的原子以它的平衡位置為中心做晶格熱振動(dòng)（見第三章），由于熱運(yùn)動(dòng)的起伏，總 有一些原子在熱振動(dòng)中能獲得足夠大的能量，從原來的平衡位置躍遷到另一個(gè)平衡位置。 擴(kuò)散現(xiàn)象正是這種微觀原子遷移的結(jié)果。 二、擴(kuò)散的微觀機(jī)制 ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 這就是 空位機(jī)制擴(kuò)散 。 大多數(shù) 元素固體 的 自擴(kuò)散 以空位擴(kuò)散為主。 在 離子化合物和氧化物 中也常有這種擴(kuò)散。 原子在晶體中擴(kuò)散的微觀機(jī)制（可分為四種） 1. 空位機(jī)制 （ 1）在一定溫度下， 晶體總會(huì)存在一定的空位。 （ 2）一個(gè) 在空位旁邊的原子就有機(jī)會(huì)跳入空位之中，使原來的位置變?yōu)榭瘴?（見右圖）。原子向空位遷移的能量較低，此種擴(kuò)散機(jī)制較容易。 ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 2. 間隙機(jī)制 （ 1） 原子在點(diǎn)陣的間隙位置間躍遷而導(dǎo)致的擴(kuò)散， 見右上圖。 （ 2）原子從間隙位置到格點(diǎn)位置再到間隙位置的遷移過程，見右下圖。 示例 ： 前種間隙機(jī)制 主要存在于 溶質(zhì)原子較小的間隙式固溶體 中， 后種間隙機(jī)制 主要存在于 自擴(kuò)散晶體 中。 ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 3. 復(fù)合機(jī)制 特征： 在擴(kuò)散過程中，當(dāng)間隙原子和空位相遇時(shí)，二者同時(shí)消失，這便是 間隙原子與空位的復(fù)合機(jī)制 ，如下圖。 示例 ：易在有 費(fèi)侖克爾缺陷 的晶體中進(jìn)行 。 實(shí)質(zhì)： 是 費(fèi)侖克爾缺陷 的遷移。 ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 4. 易位機(jī)制 特征： 相鄰原子對(duì)調(diào)位置或是通過循環(huán)式的對(duì)調(diào)位置，從而實(shí)現(xiàn)原子的遷移和擴(kuò)散。 這種擴(kuò)散機(jī)制稱為易位式擴(kuò)散機(jī)制。見右圖。 條件： 此種擴(kuò)散機(jī)制要求相鄰的兩個(gè)原子或更多的 原子必須同時(shí)獲得足夠大的能量 ，以克服其它原子的作用才能離開平衡位置實(shí)現(xiàn)易位。 結(jié)果： 這種過程必然會(huì)引起晶格較大的畸變，所以 實(shí)現(xiàn)的可能性很小 ， 在擴(kuò)散中不起主導(dǎo)作用。 ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 假設(shè)：考慮 擴(kuò)散原子沿著晶體的一個(gè)主軸躍遷 ，且令： 主軸與 X 軸平行。 ?表示兩次跳動(dòng)所間隔的統(tǒng)計(jì)平均時(shí)間，晶體中的點(diǎn)缺陷依靠熱漲落可以在晶體中擴(kuò)散，所以， 晶體中的擴(kuò)散與分子熱運(yùn)動(dòng)具有相似性。 由布朗運(yùn)動(dòng)理論，布朗運(yùn)動(dòng)行程的方均值 和擴(kuò)散系數(shù)D間滿足： 一維情況下： 三維情況下： 對(duì)空位機(jī)制， ， a是原子間距。 設(shè)總的原子位置數(shù)為 N， 其中空位數(shù) n，所以任一原子位置成為空位的幾率為： 2x?Dx 22 ??Dzyxr 62222 ????22 ax ?TKU BeNn 1??三、擴(kuò)散系數(shù) ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 原子處在正常位置時(shí)能量低，既使近鄰出現(xiàn)空位，也要越過高為 E1的“勢壘”。由統(tǒng)計(jì)物理，原子由熱運(yùn)動(dòng)獲得能量 E1的幾率為： 又：一次“沖擊”越過勢壘，實(shí)現(xiàn) 空位遷移的幾率 ＝ “沖擊”方向出現(xiàn)空位的幾率具有能量 E1的幾率 式中： D0為熱振動(dòng)頻率，上式表示單位時(shí)間實(shí)現(xiàn)躍遷的次數(shù)。 kTEeDq101??kTEUeDqNnq /)(0111 ????kTEUeDq/)(01111 ????則實(shí)現(xiàn)一次跳躍所需的時(shí)間： ?上一內(nèi)容 ?下一內(nèi)容 ?回主目錄 ?返回 則擴(kuò)散系數(shù) kTEUeDaaxD /)(0222112122???????三維時(shí) kTEUeDaarD /)(0222116166??????? 注： 若為替位雜質(zhì)的互擴(kuò)散，由于雜質(zhì)原子周圍出現(xiàn)空位的幾率較大，所以，雜質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)較大。 間隙機(jī)制的擴(kuò)散系數(shù)（略）見教材 134頁（ 442）式