【正文】 f L a a f 0 a f 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 0? ? ?( ) tr [ ( ) ( ) ] ( 1 2 ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )( 5 . 1]5)t t g Z tZ t a a t t a a a t a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???86 ()和 ()兩式分別代表了一個(gè)增益原子和一個(gè)損耗原子所帶來(lái)的對(duì)輻射場(chǎng)的密度算符 （ 即原子－輻射場(chǎng)總系統(tǒng)的約化密度算符 ）的貢獻(xiàn) 22f L a a f 0 a f 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 0? ? ?( ) tr [ ( ) ( ) ] ( 1 2 ) ( )? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )( 5 . 1]5)t t g Z tZ t a a t t a a a t a? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ???2 2 4 4f G 0 0? ? ?0 f 0 f 0 f 04 4 ( 4 )0 a f 0? ??( ) ( 1 2 ) ( ) ( 1 2 4 ) ( )? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) 2 ( )? ?( ) ( 2 4(5) tr [ ( )1]. 3 )ag X t g Y tX t a a t t a a a t aY t g t? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ???????87 相互作用圖像下約化密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 ()和 ()式分別代表了一個(gè)增益原子和一個(gè)損耗原子所帶來(lái)的對(duì)輻射場(chǎng)的密度算符的貢獻(xiàn) ， 現(xiàn)在研究存在大量增益原子和損耗原子的情形下該密度算符的運(yùn)動(dòng)方程 。 假設(shè)λa和 λb分別代表單位時(shí)間內(nèi)注入到相互作用區(qū)域中的增益原子和損耗原子數(shù)量 。 由于大量原子的平均作用 ， 可以認(rèn)為在 t0~t0+τ這段時(shí)間間隔內(nèi) ， 場(chǎng)的變化是很小的 ， 從而取近似 f 0 f 0? ?( ) ( ) f or ( ) 6t t t t t? ? ?? ? ? ?88 令 τf表示輻射場(chǎng)開始出現(xiàn)明顯變化的時(shí)間 ， 則在時(shí)間間隔 τΔtτf內(nèi) ， 原子－輻射場(chǎng)系統(tǒng)的約化密度算符 （ 純輻射場(chǎng)的密度算符 ） 的平均變化率 ， 等于增益原子與損耗原子的貢獻(xiàn)之和 f G f Lfff G f L? ?? ? Δ () Δ ()d ( ) ( )d Δ Δ? ? ( ) ( )ababttttt t t? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????將 ()和 ()式代入上式右邊，并且利用 ()式的近似，可得 89 f2 2 4 4 2 2? ? ??d d ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2( 5 .1 7 ), 3 , a a bt AX t BY t C Z tA g B g C g?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???討論 ：以上計(jì)算是基于 ()式的“粗?；啤?(coarsegrained approximation)，即假定在時(shí)間間隔 Δtτ內(nèi)輻射場(chǎng)基本不變化，而輻射場(chǎng)隨時(shí)間變化的微分，對(duì)應(yīng)它在時(shí)間間隔τΔtτf內(nèi)的平均變化，就好像一維時(shí)間是以τ為最小單元構(gòu)成的一樣，把場(chǎng)在這個(gè)時(shí)間單元以內(nèi)的變化細(xì)節(jié)通過(guò)平均給抹掉。這種近似帶來(lái)方便，但是不能描述場(chǎng)的某些噪音。 90 光子數(shù)表象下輻射場(chǎng)密度矩陣元運(yùn)動(dòng)方程 用 |φ表示單模輻射場(chǎng)的態(tài)矢， |n (n=0,1,2…)表示輻射場(chǎng)的粒子數(shù)本征態(tài)，輻射場(chǎng)的密度算符（原子－輻射場(chǎng)系統(tǒng)的約化密度算符）及其在粒子數(shù)表象下的矩陣表示為（為方便計(jì)，把下標(biāo) f去掉） f? ? , ?( )nnm n m nFnm n F F? ? ? ? ????? ? ? ???? ????顯然 ρnn代表光場(chǎng)有 n個(gè)光子的概率 91 密度矩陣元隨時(shí)間的變化為 ?d d dd( 5 .1 9 )mn mntt? ??把 ()式代入上式右邊，并且利用 ()和()，以及 ??? ?1 , 1 1? ?1 , 1 1a n n n a n n nn a n n n a n n? ? ? ? ?? ? ? ? ?92 得到場(chǎng)的密度矩陣元的運(yùn)動(dòng)方程 1 , 1221 , 11 , 1d[ ( 2) 2 ]d2{ [ ( 1 ) 6( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]84( ) ] }[ ( ) 2 ( 1 ) ( (1 ) ] 52.20)mnm n m nmnmnm n m nAm n m ntBm m n nm n m nCm n m n?????????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?93 對(duì)角元 ρnn代表輻射場(chǎng)中有 n個(gè)光子的概率，對(duì)上面 ()式令 m=n，得到對(duì)角元 ρnn隨時(shí)間的變化為 1 , 1221 , 11 , 1d[ ( 1 ) ]d ( 1[ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ] ) nnnn n nnn n nnn n nA n ntB n nC n n?????????????? ? ? ?? ? ?? ? ?以上給出的是微擾近似解。嚴(yán)格的解析解，即非微擾的強(qiáng)信號(hào)解，前人也已經(jīng)給出，即 94 1 , 11 , 1d ( 1 )d 1 ( 1 ) 1( ) ( 1 ) nnnn nnnn n nnAnAt n B A nB AC n C n??????????? ? ?? ? ?? ? ?當(dāng) nB/A1時(shí)，對(duì) ()式取近似 則 ()式變成 ()式。在下一節(jié)中我們將知道，條件 nB/A1相當(dāng)于光子數(shù)遠(yuǎn)小于激光器震蕩閥值，因而是弱信號(hào)近似。 11[ 1 ( 1 ) ] 1 ( 1 ) [ 1 ] 1n B A n B An B A n B A??? ? ? ? ?? ? ?95 () 式描述場(chǎng)處于態(tài) |n上的幾率變化，它可以重新表達(dá)為 21 , 1 1 , 121 , 1d]d[ ( 5.( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 23] ) [nn n n n n nnnn nn n nA n B n CntA n B n C n?? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??或 96 由于 ρnn代表場(chǎng)處于態(tài) |n上的幾率 ， ()式右邊的正數(shù)項(xiàng) ， 讓場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率增加 ， 表示光場(chǎng)由其他態(tài)向態(tài) |n躍遷的過(guò)程；負(fù)數(shù)項(xiàng)讓場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率減小 ， 表示光場(chǎng)由態(tài) |n向其他態(tài)躍遷的過(guò)程 。 λa和λb分別代表單位時(shí)間內(nèi)注入的增益原子和損耗原子數(shù)量 ， 由 ()式知 A, B∝ λa, C∝ λb，故含系數(shù) A、 B的項(xiàng)跟增益原子數(shù)成正比 ，含系數(shù) C的項(xiàng)與損耗原子數(shù)成正比 。 有了這些準(zhǔn)備 ， 我們來(lái)分析 ()或 ()’式右邊各項(xiàng)的物理意義 。 97 98 ?系數(shù) A跟單位時(shí)間內(nèi)注入的增益原子數(shù) λa成正比， ()式第 1項(xiàng)和第 4項(xiàng)表示在場(chǎng)的作用下，增益原子對(duì)場(chǎng)的線性增益作用，其中第 1項(xiàng)表示處于態(tài) |n1的光場(chǎng)，由于增益原子受激發(fā)射而躍遷到態(tài) |n，使得場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率 ρnn增加 (故第 1項(xiàng)為正 )，此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n1的幾率 ρn1,n1成正比，這是因?yàn)樵鲆嬖邮芗ぐl(fā)射幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比； 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??99 第 4項(xiàng)表示處于態(tài) |n的光場(chǎng) ， 由于增益原子受激發(fā)射而躍遷到態(tài) |n+1， 使得場(chǎng)處于初態(tài) |n的幾率 ρnn減小 (故第 4項(xiàng)為負(fù) )， 此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n的幾率 ρnn成正比 ， 這是因?yàn)樵邮芗ぐl(fā)射幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比 。n=0時(shí) ， 第 4項(xiàng)不等于零 ， 表示處于真空態(tài)|0的場(chǎng) ， 由于增益原子自發(fā)發(fā)射而躍遷到態(tài) |1， 因此 系數(shù) A是與自發(fā)發(fā)射有關(guān)的量 。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??100 ?系數(shù) B跟 A一樣 ， 與增益原子數(shù) λa成正比 ， 但是跟含 A的線性增益項(xiàng)相反 ， ()式中含系數(shù)B的項(xiàng)是非線性損耗項(xiàng) （ 跟粒子數(shù)平方成正比 ） ， 這是由原子增益飽和造成的非線性效應(yīng) 。 接近增益飽和時(shí) ， 原來(lái)處于上能級(jí)的增益原子 ， 紛紛躍遷為處于下能級(jí)的損耗原子 ， 所以非線性損耗與初始的增益原子數(shù)成正比 。 故系數(shù) B反映原子的增益飽和性質(zhì) 。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??101 ?系數(shù) C跟單位時(shí)間內(nèi)注入的損耗原子數(shù) λb成正比 ， ()式第 3項(xiàng)和第 6項(xiàng)表示在場(chǎng)的作用下 ， 損耗原子對(duì)場(chǎng)的線性損耗作用 ， 其中第 3項(xiàng)表示處于態(tài) |n+1的光場(chǎng) ， 由于損耗原子受激吸收而躍遷到態(tài) |n， 使得場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率 ρnn增加 (故第 3項(xiàng)為正 )， 此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n+1的幾率 ρn+1,n+1成正比 ， 這是因?yàn)閾p耗原子受激吸收幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比； 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??102 第 6項(xiàng)表示處于態(tài) |n的光場(chǎng) ， 由于損耗原子受激吸收而躍遷到態(tài) |n1， 使得場(chǎng)處于態(tài) |n的幾率 ρnn減小 (故第 6項(xiàng)為負(fù) )， 此貢獻(xiàn)與場(chǎng)處于初態(tài) |n的幾率 ρnn成正比 ， 這是因?yàn)閾p耗原子受激吸收幾率與外場(chǎng)光子數(shù)成正比 。 n=0時(shí)第 6項(xiàng)為 0， 即處于真空態(tài)|0的光場(chǎng) ， 其 零點(diǎn)能不足以引起損耗原子的 “ 自發(fā)吸收 ” 。 21 , 1 1 , 121 , 1d( 1 ) ( 1 )d( 3) ( 1 ) nnn n nn n nnn n n nnA n B n C ntA n B n Cn?? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??103 輻射場(chǎng)的平均光子數(shù)及其隨時(shí)間的變化為 ( 5 .2 4 )( 5 ., d d dd25)ln n n nnnlnnnnnntntnn?????????把 ()式代入 ()式右端 ， 并利用 ()式 ， 可得 2d ( ) [ 2 1 ]dn A C n A B n nt ? ? ? ? ? ?104 在激光器中 ， 當(dāng)泵浦速率超過(guò)閥值時(shí) ， 腔內(nèi)光子數(shù)急劇增加 ， 使得 n2遠(yuǎn)大于 n， 于是上式可簡(jiǎn)化為 2 ( 5 . 2 6d ( ) d ) n A C n A B nt ? ? ? ?由于光強(qiáng) In與平均光子數(shù) n成正比 ， 上式可與半經(jīng)典理論中得到的單模場(chǎng)運(yùn)動(dòng)方程相比較