【正文】 C t ttC t g n??????????? ? ?? ? ? ???????? ? ???( 一 階 近 似 )系統(tǒng)從 |a, n 態(tài)躍遷到 |b, n+1態(tài) 的幾率為 22( 1 ) 2 0, 20s in [ (( ) 2 ]( ) 4 ( ) 4() )antC t g n ????????由于初始光場(chǎng)的光子數(shù)為 n，故上式右端可分為跟初始光場(chǎng)中 n個(gè)光子相關(guān)的部分和跟n個(gè)光子無關(guān)的部分，即 49 22( 1 ) 2 0, 2st022( 1 ) 2 0, 2sp0s i n [ ( ) 2]( ) 4() s i n [ ( ) 2]( ) 4(( ))anantC t g ntC t g????????? ?????????? ??()中第一式與初始光場(chǎng)的光子數(shù) n成正比，是 n個(gè)光子誘發(fā)的受激發(fā)射 (stimulated emission)幾率， n=0時(shí)該幾率為 0；第二式跟初始光場(chǎng)的光子數(shù)無關(guān)，即使初始光場(chǎng)處于光子數(shù)為 0的真空態(tài)，該項(xiàng)仍然存在，故屬于自發(fā)發(fā)射 (spontaneous emission)幾率。 44 , 0 , 1, 1 0 ,( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( ) i 1 e x p [ i ( ) ] ( )( 3 .2 )a n b nb n a nC t g n t C ttC t g n t C tt????????? ? ? ? ??? ????? ? ? ?? ??上面的方程，就是系統(tǒng)處于 態(tài) |a, n和 |b, n+1 的幾率振幅隨時(shí)間變化的方程 。 ??a??? ?a??? ?a ?? ?? ?a ?35 我們考慮的是由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的孤立系統(tǒng)，無外界作用，為了滿足能量守恒，相互作用項(xiàng)只能取為： ? ?af? ? ? ? ( ) )?( H g a a????綜上所述，在全量子化理論下，由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總能量算符為 ?? ?? ?? ? ?( 1 2)? ? ? ? ? ? ? ? ( )( 2. 14 )abH a ag a a?? ? ? ? ? ?????????36 相互作用圖像下的相互作用能 在上面得到的由光場(chǎng)和原子構(gòu)成的系統(tǒng)的總哈密頓算符中，前兩項(xiàng)對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的自由項(xiàng)（定態(tài)哈密頓算符），第三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相互作用項(xiàng)（微擾項(xiàng)），即有 0 a f? ? ?0? ?af? ? ?? ? ? ? ? ? ?( 1 2 )? ? ? ?( 2 .1 5 )?()abH H HH a aH g a a? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ???????37 因此，采用相互作用圖象時(shí)，變換算符為 00? ? ?? ?( ) e x p ( i ) ( 2 . 1 6 ? ? ? ? ? ?i [ ( 1 2 ) ])e x p { }abU t H tt a a? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?10100? ( ) ( ) ? ? ? ?( ) ( ) (( ))ISISU t tF t U t F U t?? ??? ??????前面已經(jīng)講過，相互作用圖象下的態(tài)矢和算符可由 ()式得到 38 我們考慮的系統(tǒng) 其狀態(tài)由光場(chǎng)狀態(tài)和原子狀態(tài)共同決定（光場(chǎng)狀態(tài)用單模光子數(shù)態(tài) |n描述，原子狀態(tài)用上下能級(jí)本征態(tài) |a和 |b描述）。將一個(gè)矢量用基矢量展開時(shí)，展開系數(shù)即是該矢量的坐標(biāo)，由坐標(biāo)構(gòu)成的列矩陣，就是矢量的矩陣表示。 0? ?SSHH?? SH?23 輻射場(chǎng)與原子的相互作用 Schr246。dinger方程 0? ?i ( ) ( ) ( )S S S St H H tt??? ????不難驗(yàn)證，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符分別滿足以下方程（算符不顯含時(shí)間）： 由定義 () ，相互作用圖像下 Hamiltonian算符的微擾項(xiàng)與自由項(xiàng)分別為 10010 0 0 0 0? ? ? ?( ) ( ) ? ? ? ? ?( ) ( )(1 .1 5 )ISI S SH U t H U tH U t H U t H??? ?????????21 0?i ( ) ( ) d1? ? ?( ) [ ( ) , ]di( 1 .1 6 )I I II I It H ttF t F t Ht??????????? ???因此，在相互作用圖像下，態(tài)矢和算符都隨時(shí)間演化，其中態(tài)矢的演化遵從 Schr246。 17 當(dāng)一個(gè)量子系統(tǒng)的 Hamiltonian算符可以分解成兩部分 ： 相互作用圖像 0? ? ? ( 1 .1 2 )S S SH H H ???其主要部分 不含時(shí)間（通常是自由部分），而微擾部分 只對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生較小的影響（通常是相互作用部分），這時(shí)就可以采用相互作用圖像。dinger圖像下的態(tài)矢和力學(xué)量算符， 利用演化算符進(jìn)行幺正變換，可以得到 Heisenberg圖像下的 態(tài)矢和力學(xué)量算符。 在Heisenberg圖像中 ， 力學(xué)量平均值隨時(shí)間的演化 ， 完全歸之于力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化 ， 而態(tài)矢保持不變 。力學(xué)量平均值 隨時(shí)間的演化由態(tài)矢來承載： ?F ?d d 0Ft ?? ?( ) ( ) ( )F t F t F t????7 令 1 1 0 0?( ) ( , ) ( ) ( 1 .2 ) t U t t t?? ?其中算符 把 t0時(shí)刻的態(tài) |φ(t0)變換成 t1時(shí)刻的態(tài) |φ(t1) ，稱為 時(shí)間演化算符 ，它代表一個(gè)連續(xù)變換（ t0和 t1任意），把態(tài)矢隨時(shí)間變化而變化用一個(gè)變換算符的作用來體現(xiàn)。dinger圖像；反之，全都?xì)w之為 力學(xué)量算符隨時(shí)間的演化而態(tài)矢保持不變，得到 Heisenberg圖像；部分歸之為態(tài)矢變化，部分歸之為算符變化，則是相互作用圖像。1 第 10章 場(chǎng)與物質(zhì)相互作用的量子理論 量子力學(xué)的三種圖像 輻射場(chǎng)與原子的相互作用 原子發(fā)射和吸收的躍遷幾率 激光器的庫理論 10. 6 激光的光子統(tǒng)計(jì) 2 處理激光問題三個(gè)層次的理論 1．速率方程理論 2．半經(jīng)典理論 3．全量子理論 3 全量子力學(xué)方程 半經(jīng)典方程 速率方程 對(duì)泵浦和弛豫過程取平均 忽略掉所有的相位關(guān)系 用來研究激光線寬 、 強(qiáng)度的起伏 、 相干性 、 光子統(tǒng)計(jì)等 用來研究閾值條件 、 輸出功率等 (連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn) 、 脈沖運(yùn)轉(zhuǎn) 、 調(diào) Q激光器 ) 用來研究頻率牽引和推斥 、 粒子數(shù)的脈動(dòng) 、 相位鎖定 、 超短脈沖 、 相干光學(xué)瞬態(tài)過程等 三個(gè)層次理論之間的關(guān)系 量子力學(xué)的三種圖象 對(duì)同一個(gè)物理內(nèi)容，可以存在多種不同的數(shù)學(xué)描述方式，這些不同的描述方式是完全等價(jià)的。如果把 力學(xué)量平均值和概率分布隨時(shí)間的演化，全都?xì)w之為態(tài)矢隨時(shí)間的演化，而力學(xué)量算符不隨時(shí)間演化，這種描述方式就是 Schr246。dinger方程 而力學(xué)量算符 不隨時(shí)間演化： 。dinger圖像 和 Heisenberg圖像 下的態(tài)矢和力學(xué)量算符分別帶有上標(biāo) S和 H。 ?? ? ? ? ? ?( ) ( ( 1 .1 0 )) H S SH U t H U t H H? ? ?14 因此，對(duì) Schr246。 于是，我們得到在 Heisenberg圖像下，力學(xué)量算符隨時(shí)間演化的 Heisenberg方程。由 ()式中的第一式有 0? ()Ut0 0 0? ? ?i ( ) ( ) ( 1. 14 ) SU t t H U t? ? ?19 00?e x p [ i ] ( )? ? e x p [ i ( ) ] ( 0 )? e x p ( i ) ( 0 )I S SSSSSH t tH H tHt??????????0 0 0 000? ? ? ? ? ? ?[ , ] 0 [ , ] [ , ] 0? ? ? ?e x p ( i ) e x p ( i ) e x p [ i ( ) ]S S S S S S SSSH H H H H H HH t H t H H t??? ? ? ?? ? ? ??如果 Hamiltonian算符的主要部分和微擾部分對(duì)易，即有 則相互作用圖像下的態(tài)矢又可以表達(dá)為 20 利用 ()－ ()式以及 Schr246。如果對(duì)未微擾系統(tǒng)（ ）已經(jīng)有充分了解，加上微擾 之后，取相互作用圖像是合適的，此時(shí)算符的運(yùn)動(dòng)方程由未微擾系統(tǒng)的 Heisenberg方程來描述，它的解是熟悉的、已知的，而態(tài)矢量的運(yùn)動(dòng)方程只含一個(gè)影響較小的微擾算符，便于近似求解。在以 |a和 |b作為基矢量的表象下， |a=1|a+0 |b， |b= 0|a+1 |b。 ?????利用 和態(tài)矢的正交歸一性，易證 ? ?? ? ? ?, a a b b? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?[ , ] , [ , ] ? ? ? ? ?( 2 . 4? ? ?[ , ] , [ , ])? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ???27 在原子的量子力學(xué)狀態(tài) |ψ=Ca|a+Cb|b下，上升算符和下降算符的平均值與原子的密度矩陣元對(duì)應(yīng) (書上 pp. 106107)： ?? ( )?a b baa b aba b C Cb a C C? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ???2. 系統(tǒng)的 Hamiltonian算符 由單模光場(chǎng)和二能級(jí)原子組成的系統(tǒng)，其總的Hamiltonian算符包括自由光場(chǎng)的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) f)、純?cè)拥呢暙I(xiàn) (帶下標(biāo) a)，以及光場(chǎng)與原子之間的相互作用的貢獻(xiàn) (帶下標(biāo) af，相互作用采用電偶極矩近似 )，即有 f a a f? ? ? ? ( )H H H H? ? ?假設(shè)單模光場(chǎng)的頻率為 Ω， 二能級(jí)原子上下能級(jí)本征態(tài)分別是 |a和 |b， 分別對(duì)應(yīng)能量本征值 Ea=?ωa和 Eb=?ωb， 則有 29 ?f? ?aaf? ? ?( 1 2 )? ? ? ? ?? ? ?( , ) (( 7 ))2.,abH a aHH e z t e R E z t?? ? ? ? ? ?? ????????? ? ? ???RE其中原子的 Hamiltonian算符在它自身的表象下，還可以表達(dá)為 a( ?0) 0ababH a a b b????????? ????30 顯然有以下本征方程 aa? ?, ( 2 .9 ) abH a a H b b????考慮到原子的固有電偶極矩 (平均 )為零，即 =0a e R a b e R b?故光場(chǎng)與原子之間相互作用項(xiàng) 對(duì)應(yīng)的矩陣為 af0? ?( , )0a e R bH E z tb e R a?? ?? ?????af? ? ( , )H e R E z t??31 af?0 ( , )? ? ( , )( 2 .1 00)abbaD E z tHD E z t?? ?? ?????即 其中 ??0 ( )? ? ?(( 2 .1 1, ) s i n ( ))a b b aD D a e R b DE z t E k z a a? ? ? ???????定義光場(chǎng)與原子之間的耦合系數(shù) g為 0( ) si n 2 ( .12)g DE k z??32 于是 af?0? 0?0 ( , )??( , ) 001? ?si n ( )1001? ?( ) , ( s