工學(xué)格林公式ppt課件-資料下載頁(yè)
2025-01-12 11:19本頁(yè)面
【正文】 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。在 GQd yP d xL? ?的全微分形式為內(nèi)函數(shù) ),( yxuQ dyP dx ?? ?? ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu稱為 P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的 原函數(shù) 。 xQyP?????若? ?),(),( 00yxyxQ d yP d x可得線段，選擇平行于坐標(biāo)軸的折dyyxQdxyxP yyxx ),(),(00 0 ????),( 0yxC?),( yxB?xyo),( 00 yxA?dxyxPdyyxQ xxyy ),(),(00 0 ????或求原函數(shù)的公式。 BABAyxuAuBudyyxQdxyxPQ d yP d xyxuBA),()()(),(),(),(?????? ??函數(shù)，則的原為為一光滑曲線弧，若)()(),( ),(),(),( 00 000000AuBuAyxByxyxAByxBA??????? ? ?? ?? ?推廣的 NewtonLeibniz公式 ，或 曲線積分基本定理。 例 4 設(shè)曲線積分 ? ??Ldyxydxxy )(2 與路徑無(wú)關(guān) , 其中 ? 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) , 且 0)0( ?? , 計(jì)算 ? ??)1,1()0,0(2 )( dyxydxxy . 積分與路徑無(wú)關(guān) xQyP ????? ，解 ,2)( 2 xyxyyyP ?????? ),()]([ xyxyxxQ ? ????????,),( 2xyyxP ? ),(),( xyyxQ ??由 0)0( ?? ， 知 0?c 2)( xx ??? .故 ? ??)1,1( )0,0( 2 )( dyxydxxy由 xyxy 2)( ?? ? cxx ???? 2)(?? ?? 1010 0 y d ydx .21?例 5 計(jì)算 積分 ? ???Ldyyxdxyx )6()62( 2 ， 其中 L 為 2xy ? 從 )0,0( 到 )4,2( 的一段弧。 積分與路徑無(wú)關(guān) 解 xQyP ?????? 61方法)0( ?y )2( ?x??? ? ???? 4020 2 )12(2 dyydxxAO BAyx2xy ?)0,2(A)4,2(B0244)0,0(),( 00 ??yxQ d yP d x取是某個(gè)函數(shù)的全微分，在全平面成立，故方法 xQyP ?????? 62? ??? x y dyyxQdxxPyxu 0 0 ),()0,(),(?? ??? yx dyyxdxx 00 2 )6(22321632 yxyx ????? ??? )4,2( )0,0( Qd yPd xQd yPd xL)4,2()0,0(),( yxu?)4,2()0,0(2321632 yxyx ???四個(gè)等價(jià)命題 內(nèi)的分段光滑曲線；是與路徑無(wú)關(guān)，其中曲線積分GLQd yPd xL??.10???L Qd yP d x個(gè)命題等價(jià)：內(nèi)下列的一階偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)有連續(xù)在單聯(lián)通區(qū)域與設(shè)函數(shù)4),(),(GGyxQyxP，有內(nèi)任一分段光滑閉曲線沿 內(nèi)成立；在 GyPxQ ?????.3dyyxQdxyxPduyxuG),(),(),(.4??，使內(nèi)存在一函數(shù)在則 ? ?? ),(),( 00 ),(),(),(yxyx dyyxQdxyxPyxu全微分方程 如果一階微分方程可以寫(xiě)成下列形式 yPxQ?????0),(),( ?? dyyxQdxyxP并滿足 則稱上述方程為 全微分方程， 由等價(jià)命題知 dyyxQdxyxP ),(),( ?是某個(gè)函數(shù)的全微分，故 Cyxuyxdu ??? ),(0),(例 6 求解微分方程0)33()35( 222324 ?????? dyyxyyxdxyxyx 。 為全微分方程， 取 )0,0(),( 00 ?yx 解 xQyxyyP??????? 236dyyxyyxdxx yx ?? ???? 0 2220 4 )33(5? ?? ),( )0,0(),( yx Qd yPd xyxu332253123 yxyyxx ????Cyxyyxx ???? 33225 3123方程通解為： hw： p153 1(1),2(1),3,4(2),5(2,3,4),6(4,5). p282 6。 p285 1(3,4).
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