【正文】 (x,y)dy 的 原函數(shù) 。 例 1 若 )( x? ? 連續(xù)， 1)( ??? ，試確定 )( x? ，使積分? ????BAxdyxdxxyxxI )0()()]([ s i n ??與路經(jīng)無(wú)關(guān)，并求 ? ???),()0,1()0()()]([ s i n???? xdyxdxxyxx 解 )(,)(s i n xxQx xxyP ?? ?????????曲線積分與路經(jīng)無(wú)關(guān) xQyP ?????xxxx )(s i n)( ?? ???xxxxxs i n)(1)( ??? ???)c os(1)( Cxxx ????1?? ?C1)( ???)c os1(1)( xxx ???? ??)0,1(A )0,( ?? ??),( ??OyxBCdydxCA BC ??? ? ??? ?? ??01 )(0?? ??? ???? ? dy0 c o s1yyexyxQxxxyyxP????2),(s i n32),(解 xQxyP?????? 2例 2 計(jì)算 ? ???Ly dyyexdxxxxy )()s i n32( 2,其中 L 為 沿?cái)[線 tyttx c os1,s i n ???? 從 (0,0)到 )2,0( ? 的弧段 。 3 Green公式 ?區(qū)域連通性的分類 ?Green公式 ?平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 ?全微分準(zhǔn)則 一 . 區(qū)域連通性的分類 設(shè) D為平面區(qū)域 , 如果 D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于 D, 則稱 D為平面單連通區(qū)域 , 否則稱為復(fù)連通區(qū)域 . 復(fù)連通區(qū)域 單連通區(qū)域 D D 設(shè)閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成 ,函數(shù) ),(),( yxQyxP 及在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 則有 ??????????LDQ d yPd xd x d yyPxQ)( (1) 其中 L 是 D 的取正向的邊界曲線 , 公式 (1) 叫做 格林公式 . 二 . 格林 (Green)公式 定理 1 連成與由 21 LLL 組成與由 21 LLL邊界曲線 L的正向 : 當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí) ,區(qū)域 D總在他的左邊 . 2LD1L2L1LD}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??證明 (1) 若區(qū)域 D 既是 ?X 型又是 ?Y 型 ,即平行于坐標(biāo)軸的直線和 L 至多交于兩點(diǎn) . }),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??y x o a b D c d )(1 xy ??)(2 xy ??A B C E )(2 yx ??)(1 yx ??dxxQdyd x d yxQ yydcD???? ????? )( )(21???? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ???? ?? C A EC B E dyyxQdyyxQ ),(),(?? ?? E A CC B E dyyxQdyyxQ ),(),(?? L dyyxQ ),(同理可證 ??? ???? LDdxyxPd x d yyP ),(y x o d )(2 yx ??D c C E )(1 yx ?? 若區(qū)域 D 由按段光滑的閉曲線圍成 . 如圖 , 證明 (2) L1L2L3LD 1D2D3D兩式相加得 ??? ??????? LDQd yP d xd x d yyPxQ )(將 D 分成三個(gè)既是 ?X 型又是?Y 型的區(qū)域 1D , 2D , 3D . ?????? ???????????321)()(DDDDd x d yyPxQd x d yyPxQ?????? ?????????????????321)()()(DDDd x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ??? ?????? 321 LLL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x? ?? L Q d yPd x1D2D3DL1L2L3L),( 32,1 來(lái)說為正方向?qū)?DLLLG D 3L2LF C E 1LA B 證明 (3) 若區(qū)域不止由一條閉曲線所圍成 . 添加直線段 AB , CE .則 D 的邊界曲線由 AB ,2L , B A ,A F C , C E , 3L , EC 及 C G A 構(gòu)成