【正文】 解得 CD=3． 故答案為： 3． 第 30 頁（共 36 頁） 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關鍵． 24．已知 OC 是 ∠ AOB 的平分線，點 P 在 OC 上， PD⊥ OA， PE⊥ OB，垂足分別為點 D、 E， PD=10，則 PE 的長度為 10 ． 【考點】角平分線的 性質(zhì)． 【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得 PE=PD． 【解答】解： ∵ OC 是 ∠ AOB 的平分線， PD⊥ OA， PE⊥ OB， ∴ PE=PD=10． 故答案為： 10． 【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀． 25．如圖， BD 是 ∠ ABC 的平分線， P 為 BD 上的一點， PE⊥ BA 于點 E， PE=4cm，則點 P 到邊 BC的距離為 4 cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】 BD 是 ∠ ABC 的平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到點 P 到 BC 的距離 ． 【解答】解： ∵ BD 是 ∠ ABC 的平分線， PE⊥ AB 于點 E， PE=4cm， 第 31 頁（共 36 頁） ∴ 點 P 到 BC 的距離 =PE=4cm． 故答案為 4． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)．由已知能夠注意到 P 到 BC 的距離即為 PE 長是解決的關鍵． 26．如圖，在 △ ABC 中， CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D， DE⊥ AC 交于點 E， DF⊥ BC 于點 F，且BC=4， DE=2，則 △ BCD 的面積是 4 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù) CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D，可得 ∠ DCE=∠ DCF；再根據(jù) DE⊥ AC， DF⊥ BC，可得 ∠ DEC=∠ DFC=90176。，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出 △ CED≌△ CFD，即可判斷出DF=DE；最后根據(jù)三角形的面積 =底 高 247。 2，求出 △ BCD 的面積是多少即可． 【解答】解： ∵ CD 平分 ∠ ACB 交 AB 于點 D， ∴∠ DCE=∠ DCF， ∵ DE⊥ AC， DF⊥ BC， ∴∠ DEC=∠ DFC=90176。， 在 △ DEC 和 △ DFC 中， （ AAS） ∴△ DEC≌△ DFC， ∴ DF=DE=2， ∴ S△ BCD=BC DF247。 2 =4 2247。 2 =4 答： △ BCD 的面積是 4． 故答案為： 4． 第 32 頁（共 36 頁） 【點評】（ 1）此題主要考查了角 平分線的性質(zhì)和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． （ 2）此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，以及三角形的面積的求法，要熟練掌握． 27．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=90176。， AD 平分 ∠ BAC 與 BC 相交于點 D，若 AD=4， CD=2，則AB 的長是 4 ． 【考點】角平分線的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計算題． 【分析】先求出 ∠ CAD=30176。，求出 ∠ BAC=60176。， ∠ B=30176。，根據(jù)勾股定理求出 AC，再求出 AB=2AC，代入求 出即可． 【解答】解： ∵ 在 Rt△ ACD 中， ∠ C=90176。， CD=2， AD=4， ∴∠ CAD=30176。， ∴ 由勾股定理得： AC= =2 ， ∵ AD 平分 ∠ BAC， ∴∠ BAC=60176。， ∴∠ B=30176。， ∴ AB=2AC=4 ， 故答案為： 4 ． 【點評】本題考查了含 30 度角的直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理的應用，解此題的關鍵是求出 AC 長和求出 ∠ B=30176。，注意：在直角三角形中，如果有一個角等于 30176。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 第 33 頁（共 36 頁） 三、解答題（共 3 小題） 28．如圖，四邊形 ABCD 中， AC 為 ∠ BAD 的角平分線， AB=AD， E、 F 兩點分別在 AB、 AD 上，且 AE=DF．請完整說明為何四邊形 AECF 的面積為四邊形 ABCD 的一半． 【考點】角平分線的性質(zhì)；三角形的面積． 【分析】分別作 CG⊥ AB 與 G， CH⊥ AD 與 H，由 AC 為 ∠ BAD 的角平分線，得到 CG=CH，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等得到 △ ABC 面積 =△ ACD 面積，又由于 AE=DF，得到 △ AEC 面積 =△CDF 面積，于是 △ BCE 面積 =△ ABC 面積﹣ △ AEC 面積， △ BCE 面積 =△ ACD 面積﹣ △ CDF 面積，求出 △ BCE 面積 =△ ACF 面積，由四邊形 AECF 面積 =△ AEC 面積 +△ ACF 面積，四邊形 AECF 面積=△ AEC 面積 +△ BCE 面積，得到四邊形 AECF 面積 =△ ABC 面積，又由于四邊形 ABCD 面積 =△ ABC面積 +△ ACD 面積，四邊形 ABCD 面積 =2△ ABC 面積，即可得到結果． 【解答】解：分別作 CG⊥ AB 與 G， CH⊥ AD 與 H， ∵ AC 為 ∠ BAD 的角平分線， ∴ CG=CH， ∵ AB=AD， ∴△ ABC 面積 =△ ACD 面積， 又 ∵ AE=DF， ∴△ AEC 面積 =△ CDF 面積， ∴△ BCE 面積 =△ ABC 面積﹣ △ AEC 面積， △ BCE 面積 =△ ACD 面積﹣ △ CDF 面 積， ∴△ BCE 面積 =△ ACF 面積， ∵ 四邊形 AECF 面積 =△ AEC 面積 +△ ACF 面積， 四邊形 AECF 面積 =△ AEC 面積 +△ BCE 面積， ∴ 四邊形 AECF 面積 =△ ABC 面積， 又 ∵ 四邊形 ABCD 面積 =△ ABC 面積 +△ ACD 面積， 又 ∵ 四邊形 ABCD 面積 =2△ ABC 面積， 第 34 頁（共 36 頁） ∴ 四邊形 AECF 面積為四邊形 ABCD 面積的一半． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，正確的作出輔助線是解題的關鍵． 29．如圖，在 Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， BD 是 △ ABC 的一條角平分線．點 O、 E、 F 分別在 BD、 BC、AC 上，且四邊形 OECF 是正方形． （ 1）求證：點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）若 AC=5， BC=12，求 OE 的長． 【考點】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（ 1）過點 O 作 OM⊥ AB，由角平分線的性質(zhì)得 OE=OM，由正方形的性質(zhì)得 OE=OF，易得 OM=OF，由角平分線的判定定理得點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）由勾股定理得 AB 的長，利用方程思想解得結果． 【解答】（ 1）證明：過點 O 作 OM⊥ AB， ∵ BD 是 ∠ ABC 的一條角平分線， ∴ OE=OM， ∵ 四邊形 OECF 是 正方形， ∴ OE=OF， ∴ OF=OM， ∴ AO 是 ∠ BAC 的角平分線，即點 O 在 ∠ BAC 的平分線上； （ 2）解： ∵ 在 Rt△ ABC 中， AC=5， BC=12， ∴ AB= = =13， 第 35 頁（共 36 頁） 設 CE=CF=x， BE=BM=y， AM=AF=z， ∴ ， 解得： ， ∴ CE=2， ∴ OE=2． 【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，以及角平分線定理及性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)，運用方程思想是解本題的關鍵． 30．如圖， Rt△ ABC 中， ∠ C=90176。， AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB 于 E，若 AC=6， BC=8， CD=3． （ 1）求 DE 的長； （ 2）求 △ ADB 的面積． 【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（ 1）根據(jù)角平分線性質(zhì)得出 CD=DE，代入求出即可； （ 2）利用勾股定理求出 AB 的長，然后計算 △ ADB 的面積． 【解答】解：（ 1） ∵ AD 平分 ∠ CAB， DE⊥ AB， ∠ C=90176。， ∴ CD=DE， ∵ CD=3， ∴ DE=3； 第 36 頁（共 36 頁） （ 2）在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得： AB= = =10， ∴△ ADB 的面積為 S△ ADB= AB?DE= 10 3=15． 【點評】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運用，注意：角平分線上的點到 角兩邊的距離相等．