【正文】 △ PAB∽△ RDQ． 綜上所述，圖中相似三角形（相似比為 1 除外）共有 4 對． 故答案是： 4． （ 2） ∵ 四邊形 ABCD 和四邊形 ACED 都是平行四邊形， ∴ BC=AD=CE， ∵ AC∥ DE， ∴ BC： CE=BP： PR， ∴ BP=PR， ∴ PC 是 △ BER 的中位線， ∴ BP=PR， = ， 又 ∵ PC∥ DR， ∴△ PCQ∽△ RDQ． 又 ∵ 點 R 是 DE 中點， ∴ DR=RE． = = = ， ∴ QR=2PQ． 又 ∵ BP=PR=PQ+QR=3PQ， ∴ BP： PQ： QR=3： 1： 2． 【點評】 此題考查了相似三角形的判定和性質： ①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似； ②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾 角相等，那么這兩個三角形相似； ③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似． 24．如圖，在正方形 ABCD 中， E 為 BC 上任意一點（與 B、 C 不重合） ∠ AEF=90176。．觀察圖形： （ 1） △ ABE 與 △ ECF 是否相似？并證明你的結論． （ 2）若 E 為 BC 的中點，連結 AF，圖中有哪些相似三角形？并說明理由． 【分析】 （ 1）由正方形的性質得出 ∠ B=∠ C=∠ D=90176。， AB=BC=CD=AD，由角的互余關系得出 ∠ BAE=∠ CEF，即可證出 △ ABE∽△ ECF； （ 2）由（ 1）的結論和已知條件得出 BE=CE=2CF，設 CF=a，則 BE=CE=2a， AB=BC=CD=AD=4a， DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出 △ AEF 是直角三角形， ∠ AEF=90176。，得出 ，證出 △ AEF∽△ABE，即可得出結論． 【解答】 解：（ 1）相似，理由如下： ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴∠ B=∠ C=∠ D=90176。， AB=BC=CD=AD， ∴∠ BAE+∠ AEB=90176。， ∵∠ AEF=90176。， ∴∠ AEB+∠ CEF=90176。， ∴∠ BAE=∠ CEF， ∴△ ABE∽△ ECF； （ 2） △ ABE∽△ ECF∽△ AEF，理由如下： ∵ E 為 BC 的中點， ∴ BE=CE= BC= AB， 由（ 1）得： ∴△ ABE∽△ ECF， ∴ =2， ∴ BE=CE=2CF， 設 CF=a，則 BE=CE=2a， AB=BC=CD=AD=4a， ∴ DF=3a， ∴ AE2=（ 4a） 2+（ 2a） 2=20a2， EF2=（ 2a） 2+a2=5a2， AF2=（ 4a） 2+（ 3a） 2=25a2， ∵ =2， ∴ ， 又 ∵∠ AEF=∠ B=90176。， ∴△ AEF∽△ ABE， ∴△ ABE∽△ ECF∽△ AEF． 【點評】 本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟 練掌握正方形的性質和相似三角形的判定方法，運用勾股定理進行計算是解決（ 2）的關鍵． 25．如圖，在 Rt△ ACB 中， AC=8m， BC=6m，點 P、 Q 同時由 C、 B 兩點出發(fā)分別沿 CA、 BC 向點 A、 C勻速移動，它們的速度分別是 2 米 /秒、 1 米 /秒，問幾秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似？ 【分析】 設 x 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似；則 CP=2x， BQ=x， CQ=6﹣ x．當 ，或 時， △PCQ 與 △ ACB 相似，解方程即可． 【解答】 解：設 x 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似． 由題知， CP=2x， BQ=x， CQ=6﹣ x． ∵∠ C=∠ C， 當 ，或 ， △ PCQ 與 △ ACB 相似． ∴ ，或 ， 解得： x= ，或 x= ； ∴ 秒或 秒后 △ PCQ 與 △ ACB 相似． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩邊成比例得出方程是解決問題的關鍵． 26．如圖，巳知 AB 丄 BD， CD 丄 BD． （ 1）若 AB=9， CD=4， BD=10，請問在 BD 上是否存在 P 點，使以 P、 A、 B 三點為頂點的三角形與以 P、C、 D 三點為頂點的三角形相似？若存在，求 BP 的長；若不存在．請說明理由； （ 2）若 AB=9， CD=4， BD=12，請問在 BD 上存在多 少個 P 點，使以 P、 A、 B 三點為頂點的三角形與以P、 C、 D 三點為頂點的三角形相似？并求 BP 的長． 【分析】 （ 1）設 BP=x，則 PD=10﹣ x，由于 ∠ B=∠ D，根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，則當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ，當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，然后分別解方程求出 x 的值即可得到 BP 的長； （ 2）設 BP=x，則 PD=12﹣ x，與（ 1）解答一樣，易得 = 或 = ，然后分別解方程求出 x的值即可得到 BP 的長． 【解答】 解：（ 1）存在． 設 BP=x，則 PD=10﹣ x， ∵∠ B=∠ D， ∴ 當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ， 整理得 x2﹣ 10x+36=0，此方程沒有實數(shù)解； 當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，即解得 x= ， 即 BP 的長為 ； （ 2）存在 2 個 P 點． 設 BP=x，則 PD=12﹣ x， ∵∠ B=∠ D， ∴ 當 = 時， △ ABP∽△ PDC，即 = ， 整理得 x2﹣ 12x+36=0，解得 x1=x2=6； 當 = 時， △ ABP∽△ CDP，即 = ，即解得 x= ， 即 BP 的長為 6 或 ． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等 的兩個三角形相似．注意分類討論思想的運用． 27． 如圖，在平面直角坐標系中，已知 OA=6 厘米， OB=8 厘米．點 P 從點 B 開始沿 BA 邊向終點 A 以 1厘米 /秒的速度移動；點 Q 從點 A 開始沿 AO 邊向終點 O 以 1 厘米 /秒的速度移動．若 P、 Q 同時出發(fā)，運動時間為 t（ s）． （ 1）當 t 為何值時， △ APQ 與 △ AOB 相似？ （ 2）當 t 為何值時， △ APQ 的面積為 8cm2？ 【分析】 （ 1）利用勾股定理列式求出 AB，再表示出 AP、 AQ，然后分 ∠ APQ 和 ∠ AQP 是直角兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可； （ 2）過點 P 作 PC⊥ OA 于 C，利用 ∠ OAB 的正弦求出 PC，然后根據三角形的面積公式列出方程求解即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 A（ 0， 6）， B（ 8， 0）， ∴ AO=6， BO=8， ∴ AB= = =10， ∵ 點 P 的速度是每秒 1 個單位，點 Q 的速度是每秒 1 個單位， ∴ AQ=t， AP=10﹣ t， ①∠ APQ 是直角時， △ APQ∽△ AOB， ∴ ， 即 ， 解得 t= ＞ 6，舍去； ②∠ AQP 是直角時， △ AQP∽△ AOB， ∴ ， 即 ， 解得 t= ， 綜上所述， t= 秒時， △ APQ 與 △ AOB 相似； （ 2）如圖，過點 P 作 PC⊥ OA 于點 C， 則 PC=AP?sin∠ OAB=（ 10﹣ t） = （ 10﹣ t）， ∴△ APQ 的面積 = t （ 10﹣ t） =8， 整理，得： t2﹣ 10t+20=0， 解得： t=5+ ＞ 6（舍去），或 t=5﹣ ， 故當 t=5﹣ s 時， △ APQ 的面積為 8cm2． 【點評】 本題主要考查了相似三角形的判定與性質、三角形的面積以及一元二次方程的應用能力，根據對應邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關鍵． 28． 如圖 ①， △ ABC 中， ∠ ACB=90176。， ∠ ABC=α，將 △ ABC 繞點 A 順時針旋轉得到 △ AB′C′，設旋轉的角度是 β． （ 1）如圖 ②，當 β= （ 90+α） 176。（用含 α的代數(shù)式表示）時，點 B′恰好落在 CA 的延長線上； （ 2）如圖 ③，連接 BB′、 CC′， CC′的延長線交斜邊 AB 于點 E，交 BB′于點 F．請寫出圖中兩對相似三角形 △ ABB′∽△ ACC′ ， ②△ ACE∽△ FBE （不含全等三角形），并選一對證明． 【分析】 （ 1）先求出 ∠ BAC 的度數(shù)，然后 180176。﹣ ∠ BAC 可得出答案； （ 2）具有兩個角相等的三角形是相似三角形，由此結合圖形及旋轉的性質可得出答案． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ ABC=α， ∴∠ BAC=90176。﹣ α， ∴ β=∠ 90176。+α； （ 2）圖中兩對相似三角形： ①△ ABB′∽△ ACC′， ②△ ACE∽△ FBE， 證明 ①： ∵△ ABC 繞點 A 順時針旋轉角 β得到 △ AB′C′， ∴∠ CAC′=∠ BAB′=β， AC=AC′， AB=AB′ ∴ ∴△ ABB′∽△ ACC′