【正文】 ∴ BP=PR， ∴ PC 是 △ BER 的中位線， ∴ BP=PR， = ， 又 ∵ PC∥ DR， ∴△ PCQ∽△ RDQ． 又 ∵ 點(diǎn) R 是 DE 中點(diǎn)， ∴ DR=RE． = = = ， ∴ QR=2PQ． 又 ∵ BP=PR=PQ+QR=3PQ， ∴ BP： PQ： QR=3： 1： 2． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)： ①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似； ②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾 角相等，那么這兩個(gè)三角形相似； ③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似． 24．如圖，在正方形 ABCD 中， E 為 BC 上任意一點(diǎn)（與 B、 C 不重合） ∠ AEF=90176。+∠ BAD． ∴∠ EDC=∠ BAD． ∴△ ABD∽△ DCE． （ 2）解：討論： ①若 AD=AE 時(shí)， ∠ DAE=90176。 ∴ 45176。 AB=AC=2， ∴∠ B=∠ C=45176。 DE 交 AC 于點(diǎn) E． （ 1）求證： △ ABD∽△ DCE； （ 2）當(dāng) △ ADE 是等腰三角形時(shí)，求 AE 的長(zhǎng)． 【分析】 （ 1）首先根據(jù)等腰直角三角形的兩個(gè)底角都是 45176。 ∵∠ C 是公共角， ∴△ CDE∽△ CAB， ∴ CD： CE=CA： CB， ∴ CD： CA=CE： CB， ∴△ DCE∽△ ACB． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得 △ CDE∽△ CAB 是關(guān)鍵． 21．如圖所示， Rt△ ABC 中，已知 ∠ BAC=90176。 AC=3， BC=4，過(guò)點(diǎn) B 作射線 BB1∥ AC．動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿射線 AC方向以每秒 5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E從點(diǎn) C沿射線 AC方向以每 秒 3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥ AB 于 H，過(guò)點(diǎn) E 作 EF⊥ AC 交射線 BB1 于 F， G 是 EF 中點(diǎn)，連接 DG．設(shè)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒． （ 1）當(dāng) t 為何值時(shí)， AD=AB，并求出此時(shí) DE 的長(zhǎng)度； （ 2）當(dāng) △ DEG 與 △ ACB 相似時(shí)，求 t 的值． 【分析】 （ 1）在 Rt△ ABC 中，利用勾股定理可求得 AB 的長(zhǎng)，即可得到 AD、 t 的值，從而確定 AE 的長(zhǎng)，由 DE=AE﹣ AD 即可得解． （ 2）若 △ DEG 與 △ ACB 相似，要分兩種情況： ①AG： DE=DH： GE， ②AH： EG=DH： DE，根據(jù)這些比例線段即可求得 t 的值．（需注意的是在 求 DE 的表達(dá)式時(shí)，要分 AD＞ AE 和 AD＜ AE 兩種情況） 【解答】 解：（ 1） ∵∠ ACB=90176。再加上公共角， 于是可判斷 △ EAD∽△ EBA． 【解答】 解：有相似三角形，它們?yōu)?△ EAD∽△ EBA． 理由如下： ∵△ ABC 和 △ AFG 為等腰直角三角形， ∴∠ B=∠ GAF=45176。點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn)， ∴ AM=CM， ∴∠ C=∠ CAM， ∵ DA⊥ AM， ∴∠ DAM=90176。 又 ∵∠ AEF=∠ BEA， ∴△ AEF∽△ BEA， ∴ = ， ∵ 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， ∴ AE=ED， ∴ = ， 又 ∵∠ FED=∠ DEB， ∴△ DEF∽△ BED． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，正確得出 = 是解題關(guān)鍵． 17． 如圖，在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。 ∠ ABC=∠ CBH， ∴△ ABC∽△ CBH， ∴ = ， ∴ BH= ， BP= ． 綜上所述：當(dāng) PB= 或 時(shí)， △ BCP 與 △ BCD 相似． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用分類討論分析是解題關(guān)鍵． 16．在矩形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， BE 垂直 AC 交 AC 于點(diǎn) F，求證： △ DEF∽△ EBD． 【分析】 根據(jù)已知結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出 = ，進(jìn)而得出 △ DEF∽△ BED． 【解答】 證明： ∵ AC⊥ BE， ∴∠ AFB=∠ AFE=90176。 ∵ AE=ED， ∴ ， ∵ DF= DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ ABE∽△ DEF； （ 2）解： ∵ ABCD 為正方形， ∴ ED∥ BG， ∴ ， 又 ∵ DF= DC，正方形的邊長(zhǎng)為 4， ∴ ED=2， CG=6， ∴ BG=BC+CG=10． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15．如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。． ∴∠ ABD=36176。 ∴ x+2x+2x=180176。 AB=7， AD=2， BC=3，在邊 AB 上取點(diǎn) P，使得 △ PAD 與 △ PBC 相似，則這樣的 P 點(diǎn)共有（ ） A． 1 個(gè) B． 2 個(gè) C． 3 個(gè) D． 4 個(gè) 【分析】 設(shè) AP=x，則有 PB=AB﹣ AP=7﹣ x，分兩種情況考慮：三角形 PDA 與三角形 CPB 相似；三角形PDA 與三角形 PCB 相似，分別求出 x 的值，即可確定出 P 的個(gè)數(shù)． 【解答】 解：設(shè) AP=x，則有 PB=AB﹣ AP=7﹣ x， 當(dāng) △ PDA∽△ CPB 時(shí)， = ，即 = ， 解得： x=1 或 x=6， 當(dāng) △ PDA∽△ PCB 時(shí)， = ，即 = ， 解得： x= ， 則這樣的點(diǎn) P 共有 3 個(gè)， 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 4．如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為 1，則圖中三角形（陰影部分）與 △ ABC 相似的是（ ） A． B． C． D． 【分析】 設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1，根據(jù)已知可求出 △ ABC 三邊的長(zhǎng)，同理可求出陰影部分的各邊長(zhǎng)，從而根據(jù)相似三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例即可得到答案． 【解答】 解： ∵ 小正方形的邊長(zhǎng)均為 1 ∴△ ABC 三邊分別為 2， ， 同 理： A 中各邊的長(zhǎng)分別為： ， 3， ； B 中各邊長(zhǎng)分別為： ， 1， ； C 中各邊長(zhǎng)分別為： 2 ， ； D 中各邊長(zhǎng)分別為： 2， ， ； ∵ 只有 B 項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，且相似比為 故選 B． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定方法的理解及運(yùn)用． 5．如圖所示，在 ?ABCD 中， BE 交 AC， CD 于 G， F，交 AD 的延長(zhǎng)線于 E，則圖中的相似三角形有（ ） A． 3 對(duì) B． 4 對(duì) C． 5 對(duì) D． 6 對(duì) 【分析】 根據(jù)相似三角形的判定來(lái)找出共有多少對(duì)相似的三角形． 【解答】 解： AD∥ BC，可知 △ AGE∽△ CGB， △ DFE∽△ CFB， △ ABC∽△ CDA， AB∥ CD，可知 △ ABG∽△ CFG， △ ABE∽△ CFB， △ EDF∽△ EAB． 共有 6 對(duì)， 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查對(duì)于相似三角形的判定的掌握以及能夠不遺漏的找出全部的相似三角形． 6．如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2， BE=CE， MN=1，線段 MN 的兩端點(diǎn)在 CD、 AD 上滑動(dòng)，當(dāng) DM 為（ ）時(shí)， △ ABE 與以 D、 M、 N 為頂點(diǎn)的三角形相似． A． B． C． 或 D． 或 【分析】 根據(jù) AE=EB， △ ABE 中， AB=2BE，所以在 △ MNC 中，分 CM 與 AB 和 BE 是對(duì)應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出 CM 與 CN 的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可． 【解答】 解： ∵ 四邊形 ABCD 是正方形， ∴ AB=BC， ∵ BE=CE， ∴ AB=2BE， 又 ∵△ ABE 與以 D、 M、 N 為頂點(diǎn)的三角形相似， ∴ ①DM 與 AB 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)， DM=2DN ∴ DM2+DN2=MN2=1 ∴ DM2+ DM2=1， 解得 DM= ； ②DM 與 BE 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)， DM= DN， ∴ DM2+DN2=MN2=1， 即 DM2+4DM2=1， 解得 DM= ． ∴ DM 為 或 時(shí)， △ ABE 與以 D、 M、 N 為頂點(diǎn)的三角形相似． 故選 C． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)．解決本題特別要考慮到 ①DM 與 AB 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)， ②當(dāng) DM 與 BE 是對(duì)應(yīng)邊時(shí)這兩種情況． 二．填空題 7．（ 2022?婁底）如圖，已知 ∠ A=∠ D，要使 △ ABC∽△ DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是 AB∥ DE ．（只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母） 【分析】 根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行添加條件． 【解答】 解： ∵∠ A=∠ D， ∴ 當(dāng) ∠ B=∠ DEF 時(shí)， △ ABC∽△ DEF， ∵ AB∥ DE 時(shí)，