【正文】 AF⊥ CD 于 F， BD 分別與 AE、 AF相交于 G、 H． （ 1）在圖中找出與 △ ABE相似的三角形，并說明理由； （ 2）若 AG=AH，求證：四邊形 ABCD是菱形． 【考點】 相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出相等的角，然后判斷出 △ ABE∽△ ADF； （ 2）判斷出四邊形 ABCD是平行四邊形，再加上條件 AB=AD可以判斷出四邊形 ABCD是菱形． 【解答】 解：（ 1） △ ABE∽△ ADF． 理由如下： ∵ AE⊥ BC于 E， AF⊥ CD于 F， ∴∠ AEB=∠ AFD=90176。． ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴∠ ABE=∠ ADF． ∴△ ABE∽△ ADF． （ 2）證明： ∵ AG=AH， ∴∠ AGH=∠ AHG． ∴∠ AGB=∠ AHD． ∵△ ABE∽△ ADF， ∴∠ BAG=∠ DAH． ∴∠ BAG≌∠ DAH． ∴ AB=AD， ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， AB=AD， ∴ 平行四邊形 ABCD是菱形． 【點評】 本題考查了相似三角形的判定與 性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定，熟悉圖形特征是解題的關(guān)鍵． 22．如圖，矩形 ABCD的對角線相交于點 O， DE∥ AC， CE∥ BD． 求證：四邊形 OCED是菱形． 【考點】 菱形的判定；矩形的性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 首先根據(jù)兩對邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形 OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論． 【解答】 證明： ∵ DE∥ AC， CE∥ BD， ∴ 四邊形 OCED是平行四邊形， ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴ OC=OD， ∴ 四邊 形 OCED是菱形． 【點評】 此題主要考查了菱形的判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法： ①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； ②四條邊都相等的四邊形是菱形； ③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 23．（ 1）如圖 1，在正方形 ABCD中， E是 AB上一點， F是 AD延長線上一點，且 DF=BE．求證： CE=CF； （ 2）如圖 2，在正方形 ABCD中， E是 AB上一點， G是 AD上一點，如果 ∠ GCE=45176。，請你利用（ 1）的結(jié)論證明： GE=BE+GD． （ 3）運用（ 1）（ 2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題： 如圖 3，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC（ BC＞ AD）， ∠ B=90176。， AB=BC， E是 AB上一點，且 ∠ DCE=45176。， BE=4， DE=10，求直角梯形 ABCD的面積． 【考點】 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；直角梯形． 【專題】 幾何綜合題；壓軸題． 【分析】 （ 1）由四邊形是 ABCD正方形，易證得 △ CBE≌△ CDF（ SAS），即可得 CE=CF； （ 2）首先延長 AD至 F，使 DF=BE，連接 CF，由（ 1）知 △ CBE≌△ CDF，易證得∠ ECF=∠ BCD=90176。，又由 ∠ GCE=45176。，可得 ∠ GCF=∠ GCE=45176。，即可證得 △ ECG≌△ FCG，繼而可得 GE=BE+GD； （ 3）首先過 C作 CG⊥ AD，交 AD延長線于 G，易證得四邊形 ABCG為正方形，由（ 1）（ 2）可知， ED=BE+DG，即可求得 DG的長，設(shè) AB=x，在 Rt△ AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得 AB的長，繼而求得直角梯形 ABCD的面積． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ BC=CD， ∠ B=∠ CDF=90176。， ∵∠ ADC=90176。， ∴∠ FDC=90176。． ∴∠ B=∠ FDC， ∵ BE=DF， ∴ △ CBE≌△ CDF（ SAS）． ∴ CE=CF． （ 2）證明：如圖 2，延長 AD至 F，使 DF=BE，連接 CF． 由（ 1）知 △ CBE≌△ CDF， ∴∠ BCE=∠ DCF． ∴∠ BCE+∠ ECD=∠ DCF+∠ ECD， 即 ∠ ECF=∠ BCD=90176。， 又 ∠ GCE=45176。， ∴∠ GCF=∠ GCE=45176。． ∵ CE=CF， GC=GC， ∴△ ECG≌△ FCG． ∴ GE=GF， ∴ GE=GF=DF+GD=BE+GD． （ 3）解：如圖 3，過 C作 CG⊥ AD，交 AD延長線于 G． 在直角梯形 ABCD中， ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ A=∠ B=90176。， 又 ∵∠ CGA=90176。， AB=BC， ∴ 四邊形 ABCG為正方形． ∴ AG=BC． … ∵∠ DCE=45176。， 根據(jù)（ 1）（ 2）可知， ED=BE+DG． … ∴ 10=4+DG， 即 DG=6． 設(shè) AB=x，則 AE=x﹣ 4， AD=x﹣ 6， 在 Rt△ AED中， ∵ DE2=AD2+AE2，即 102=（ x﹣ 6） 2+（ x﹣ 4） 2． 解這個方程，得： x=12或 x=﹣ 2（舍去）． … ∴ AB=12． ∴ S 梯形 ABCD= （ AD+BC） ?AB= （ 6+12） 12=108． 即梯形 ABCD的面積為 108． … 【點評】 此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用． 24．如圖，在 ?ABCD中， E、 F分別為邊 ABCD的中點， BD 是對角線，過 A點作平行四邊形 AGDB交 CB的延長線于點 G． （ 1）求證： DE∥ BF； （ 2）若 ∠ G=90，求證：四邊形 DEBF是菱形． 【考點】 菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)已知條件證明 BE=DF， BE∥ DF， 從而得出四邊形 DFBE是平行四邊形，即可證明 DE∥ BF， （ 2）先證明 DE=BE，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，從而得出結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1）在平行四邊形 ABCD 中， AB∥ CD， AB=CD ∵ E、 F分別為 AB、 CD的中點 ∴ DF= DC， BE= AB ∴ DF∥ BE， DF=BE ∴ 四邊形 DEBF為平行四邊形， ∴ DE∥ BF； （ 2） ∵ AG∥ BD， ∴∠ G=∠ DBC=90176。， ∴△ DBC 為直角三角形， 又 ∵ F為邊 CD的中點， ∴ BF= DC=DF， 又 ∵ 四邊形 DEBF為平行四邊形， ∴ 四邊形 DEBF是菱形． 【點評】 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定．解題時，需要掌握平行四邊形與菱形間的相互聯(lián)系，難度適中．