【正文】 取得最小值． 【考點(diǎn)】相似形綜合題． 【專題】壓軸題；探究型． 【分析】（ 1）求證相似，證兩對角相等即可，由平行線的性質(zhì)容易得出角相等． （ 2） ①當(dāng)垂直時(shí)，易得三角形相似，故有相似邊成比例，由題中已知矩形邊長， AP 長已知，故 t 易知． 第 21 頁（共 25 頁） ②因?yàn)?S△ APQ+S△ DCQ=y，故求 S△ APQ和 S△ DCQ是解決問題的關(guān)鍵，觀察無固定組合規(guī)則圖象，則考慮作高分別求?。紤]兩高在同一直線上，且相加恰為 10，故可由（ 1）相似結(jié)論得，高的比等于對應(yīng)邊長比，設(shè)其中一高為 h，即可求得，則易表示 y= ， 注意要考慮 t 的取值．討論何時(shí) y 最小， y=不是我們學(xué)過的函數(shù)類型，故無法用最值性質(zhì)來討論，觀察題目問法 “探究 P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到第幾秒到第幾秒之間時(shí) ”， ＜ 1＞ 并不是我們常規(guī)的在確定時(shí)間最小， ＜ 2＞ 時(shí)間為整數(shù)秒．故可考慮將所有可能的秒全部算出，再觀察數(shù)據(jù)探究函數(shù)的變化找結(jié)論． 【解答】（ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴ AB∥ CD， ∴∠ QPA=∠ QDC， ∠ QAP=∠ QCD， ∴△ APQ∽△ CDQ． （ 2）解： ①當(dāng) DP⊥ AC 時(shí)， ∠ QCD+∠ QDC=90176。， ∵∠ ADQ+∠ QDC=90176。， ∴∠ DCA=∠ ADP， ∵∠ ADC=∠ DAP=90176。， ∴△ ADC∽△ PAD， ∴ = ， ∴ ， 解得 PA=5， ∴ t=5． ②設(shè) △ AQP 的邊 AP 上的高 h，則 △ QDC 的邊 DC 上的高為（ 10﹣ h）． ∵△ APQ∽△ CDQ， ∴ = = ， 解得 h= ， ∴ 10﹣ h= ， ∴ S△ APQ= = ， S△ DCQ= = ， 第 22 頁（共 25 頁） ∴ y=S△ APQ+S△ DCQ= + = （ 0≤ t≤ 20）． 探究： t=0， y=100； t=1， y≈ ； t=2， y≈ ； t=3， y≈ ； t=4， y≈ ； t=5， y=85； t=6， y≈ ； t=7， y≈ ； t=8， y≈ ； t=9， y≈ ； t=10， y≈ ； t=11， y≈ ； t=12， y=85； t=13， y≈ ； t=14， y≈ ； t=15， y≈ ； t=16， y≈ ； t=17， y≈ ； t=18， y≈ ； t=19， y≈ ； t=20， y=100； 觀察數(shù)據(jù)知： 當(dāng) 0≤ t≤ 8 時(shí)， y 隨 t 的增大而減??； 當(dāng) 9≤ t≤ 20 時(shí)， y 隨 t 的增大而增大； 故 y 在第 8 秒到第 9 秒之間取得最小值． 【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形相似及相似圖形性質(zhì)等問題，（ 2） ②是一道非常新穎的考點(diǎn)，它考察了考生對函數(shù)本身的理解，作為未知函數(shù)類型如何探索其變化趨勢是非常需要學(xué)生能力的．總體來說，本題是一道非常好、非常新的題目． 第 23 頁（共 25 頁） 25．如圖，在直角梯形 OABC 中， BC∥ AO， ∠ AOC=90176。，點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為（ 5， 0），（ 2， 6），點(diǎn)D 為 AB 上一點(diǎn)，且 BD=2AD，雙曲線 y= （ k＞ 0）經(jīng)過點(diǎn) D，交 BC 于點(diǎn) E． （ 1）求雙曲線的解析式； （ 2）求四邊形 ODBE 的面積． 【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合 題． 【專題】綜合題． 【分析】（ 1）作 BM⊥ x 軸于 M，作 DN⊥ x 軸于 N，利用點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)得到 BC=OM=2， BM=OC=6， AM=3，再證明 △ ADN∽△ ABM，利用相似比可計(jì)算出 DN=2， AN=1，則 ON=OA﹣ AN=4，得到 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 2），然后把 D 點(diǎn)坐標(biāo)代入 y= 中求出 k 的值即可得到反比例函數(shù)解析式； （ 2）根據(jù)反比例函數(shù) k 的幾何意義和 S 四邊形 ODBE=S 梯形 OABC﹣ S△ OCE﹣ S△ OAD進(jìn)行計(jì)算． 【解答】解：（ 1）作 BM⊥ x 軸于 M，作 DN⊥ x 軸于 N，如圖， ∵ 點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)分別為（ 5， 0） ，（ 2， 6）， ∴ BC=OM=2， BM=OC=6， AM=3， ∵ DN∥ BM， ∴△ ADN∽△ ABM， ∴ = = ，即 = = ， ∴ DN=2， AN=1， ∴ ON=OA﹣ AN=4， ∴ D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 4， 2）， 把 D（ 4， 2）代入 y= 得 k=2 4=8， ∴ 反比例函數(shù)解析式為 y= ； （ 2） S 四邊形 ODBE=S 梯形 OABC﹣ S△ OCE﹣ S△ OAD 第 24 頁（共 25 頁） = （ 2+5） 6﹣ |8|﹣ 5 2 =12． 【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù) k 的幾何意義和梯形的 性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會運(yùn)用相似比計(jì)算線段的長度． 26．在 △ ABC 中， ∠ BAC=90176。， AB＜ AC， M 是 BC 邊的中點(diǎn)， MN⊥ BC 交 AC 于點(diǎn) N．動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿射線 BA 以每秒 厘米的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) N 出發(fā)沿射線 NC 運(yùn)動(dòng)，且始終保持 MQ⊥ MP設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒（ t＞ 0）． （ 1） △ PBM 與 △ QNM 相似嗎？以圖 1 為例說明理由； （ 2）探求 BP2， PQ2， CQ2 三者之間的數(shù)量關(guān)系，以圖 1 為例說明理由． 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理． 【分析】（ 1）通過垂直的定義、直角三角形中的 兩個(gè)銳角互余以及等量代換，可以證得 △ PBM 與 △ QNM中的兩個(gè)角對應(yīng)相等，所以這兩個(gè)三角形一定相似； （ 2） PQ2=BP2+CQ2．作輔助線延長 QM 至點(diǎn) D，使 MD=MQ．連接 PD、 BD 構(gòu)建平行四邊形 BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知 BD∥ CQ， BD=CQ；然后在直角三角形 BPD 中利用勾股定理求得PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知 PQ=PD，所以由等量代換證得該結(jié)論． 【解答】解：（ 1） △ PBM∽△ QNM．理由如下： 如圖 1， ∵ MQ⊥ MP， MN⊥ BC（已知）， ∴∠ PMB+∠ PMN=90176。， ∠ QMN+∠ PMN=90176。， ∴∠ PMB=∠ QMN（等量代換）． ∵∠ PBM+∠ C=90176。（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）， ∠ QNM+∠ C=90176。（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）， 第 25 頁（共 25 頁） ∴∠ PBM=∠ QNM（等量代換）． ∴△ PBM∽△ QNM； （ 2） PQ2=BP2+CQ2． 證明如下：如圖 1，延長 QM 至點(diǎn) D，使 MD=MQ．連接 PD、 BD， BQ， CD ∵ BC、 DQ 互相平分， ∴ 四邊形 BDCQ 為平行四邊形， ∴ BD∥ CQ， BD=CQ（平行四邊形的對邊平行且相等）； 又 ∵∠ BAC=90176。， ∴∠ PBD=90176。， ∴ PD2=BP2+BD2=BP2+CQ2， ∵ PM 垂直平分 DQ， ∴ PQ=PD， ∴ PQ2=BP2+CQ2． 【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直的定義、直角三角形中的兩個(gè)銳角互余，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．