【正文】 即 ， ， ， ， ， 因而 ， ， ， ， 也即 ， 對一切正整數(shù) 成立。 將 的值代回 ()就得到 這就是方程的滿足所給初始條件的解。 綜合練習(xí) 試解下列各方程： 參考答案 其中 為任意常數(shù)。 其中 為任意常數(shù)。 其中 為任意常數(shù)。 其中 為任意常數(shù)。 其中 為任意常數(shù)。 其中 為任意常數(shù)。 第五章 選做作業(yè) 一 、 填空題 1. 若 A(x)在 (∞,+∞)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 YAY )(dd xx ? ， nRY? 的任一非零解在 1?nR 空間 ( )與 x 軸相交 . 2. 方程組 nxxx RYRYFY ??? ,),(dd 的任何一個解的圖象是 ( )維空間中的一條積分曲線 . 3. 向量函數(shù)組 Y1(x), Y2(x),…, Yn(x)線性相關(guān)的 ( )條件是它們的朗斯期行列式 W(x)=0. 4. 若矩陣 A 具有 n 個線性無關(guān)的特征向量 nvvv , 21 ? ，它們對應(yīng)的 特征值分別為 n??? ?, 21 ，那么矩陣 )(t? = 線性方程組 AXdtdX? 的一個基解矩陣 . 二 、 單選題 nxxxx RYRFYAY ???? ,),()(dd 的所有解 ( ). (A)構(gòu)成一個 n 維線性空間 (B)構(gòu)成一個 n +1 維線性空間 (C)不是線性空間 (D)構(gòu)成一個無窮維線性空間 2. 若 A(x), F(x)≠0 在 (∞,+∞) 上 連 續(xù) ， 那 么 線 性 非 齊 次 方程組nxxxx RYRFYAY ???? ,),()(dd 的任一非零解是否可以與 x 軸相交 ?( ). (A)可以與 x 軸相交 (B)不可以與 x 軸相交 (C)也許可以 (D)也許不可以 ?( ) (A)不可以 (B)可以 (C)也許不可以 (D)也許可以 )(xΦ 是線性齊次方程組 YAY )(dd xx ? 的一個基解矩陣， T 為非奇異 nn 常數(shù)矩陣，那么)(xΦ T 是否還是此方程的基解矩陣 .( ) (A)是 (B)不是 (C)也許是 (D)也許不是 參考答案 一 .填空題 +1 4. ? ?nttt neee ??? ??? , 21 21 ? 二 .單選題 1． C 2． A 3． A 4． A 典型例題分析 例 1 求下列方程組的通解 （ 1） ???????????yxtyyxtx34dd2dd （ 2） ???????????yxtyyxtx43dd2dd （ 3） ???????????yxtyyxtx4dddd （ 4） ????????????yxtyyxtx43dd2dd （ 5） ????????????yxtyyxtx8dd3dd 解（ 1）特征方程為 0542 ??? ?? ， 特征根為 11 ??? ， 52?? 11 ??? 和 52?? 對應(yīng)的特征向量分別為 ????????????? 2111 ， 故原方程組的通解為 ???????????????????? ??tttt CCyx 5521 2eeee （ 2）方程組的特征方程為 043 12 ????? ??? EA 即 0562 ??? ?? 特征根為 51?? ， 12?? 51?? 對應(yīng)的解為 tbayx 51111 e????????????? 其中 11,ba 是 51?? 對應(yīng)的特征向量的分量，滿足 ??????????????????? ?? 00543 15211ba 可解出 3,1 11 ?? ba ． 同樣，可解出 12?? 對應(yīng)的特征向量的分量為 1,1 22 ??? ba ． 故原方程組的通解為 ????????????????????? tttt CCyx ee3ee 2551． （ 3） 特征方程為 014 11 ????? ??? EA 即 0322 ??? ?? 特征根為 31?? ， 12 ??? 31?? 對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 ??????????????????? ?? 00314 13111ba 可確定出 ????????????? 2111ba 同樣可算出 12 ??? 對應(yīng)的特征向量為 ?????????????? 2122ba 所以，原方程組的通解為 ????????????????????? ??tttt CCyx 2ee2ee 2331 （ 4）解 方程組的特征方程為 043 21 ??????? ??? EA 即 0232 ??? ?? 特征根為 11?? ， 22?? 11?? 對應(yīng)的解為 tbayx e1111 ????????????? 其中 11,ba 是 11?? 對應(yīng)的特征向量的分量，滿足 ??????????????????? ???? 00143 21111ba 可解得 1,1 11 ??? ba ． 同樣可算出 22?? 對應(yīng)的特征向量分量 為 3,2 12 ??? ba ． 所以，原方程組的通解為 ?????????????????????? tttt CCyx 2221 e32eee （ 5） 特征方程為 0)5)(1(18 13 ?????????? ????? EA 特征根為 11?? ， 52 ??? 11?? 對應(yīng)特征向量為 ??????41 52 ??? 對應(yīng)的特征向量為 ???????21 所以，原方程組的通解為 ????????????????????? ? 21e41e 521 tt CCyx 例 2 如果 ，試求 。 解 因為 所以 , 是 的 5 重特征值 ,直接計算可得 0。因此，由公式 () 可得 ， 這樣一來，有 例 3 考慮方程組 ，這里系數(shù)矩陣 ，試求滿足初始條件 的解 ，并求 。 解 的特征方程為 ，所以 分別為重特征值。為了確定三維歐幾里得空間的子空間 和 ，根據(jù) () 0，我們需要考慮方程組： 0 和 0 首先討論 0 或 ，這個方程組的解為 ，其中 為任意常數(shù)。子可見 是由向量 所張成的。 其次討論 ０ 或 ，這個方程組的解為，其中 是任意常數(shù)。子空間 是由向量 所張成的。 現(xiàn) 在 我 們 需 要 找 出 向 量 使 得 我 們 能 夠 將 初 始 向 量 寫成的形式。因為 ，所以 ， 其中 是某些常數(shù)。這 樣一來 ， 因而 ， ， ，解之得到 ， ， ，且 ， 根據(jù)公式 () ，我們得到滿足初始條件 的解為 為了得到 ，依次令 等于 ， ， 代入上式，我們得到三個線性無關(guān)的解。利用這三個解作為列，即得 例 1 化如下微分方程為一階線性微分方程組： 0)()(2 ??? yxqdxdyxpdx yd 解：令21 dxdy , yyy ??則 0)()(dxdy ,d, 12222 1221 ????? yxqyxpdxdydx yydxdy ∴ 原微 分方程化為等價的一階線性微分方程組： ???????????12221)()( yxqyxpdxdyydxdy 例 2 化如下微分方程組為一階線性微分方程組： ???????????020322xdtdytydt xd 解：令 , dtdx , 321 xyxxx ???則有 dtdxxdtdx 321 dtdy, ?? ∴ 原微分方程組化為等價的一階線性微分方程組： ????????????31332212txdtdxxdtdxxdtdx