山東師大附中20xx屆高三最后一次?？紨?shù)學(xué)試題理科-資料下載頁
2025-01-09 17:46本頁面
【正文】 ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? 112( )2 2 1n??? ??????????????????????? ??????????9分 0 ＜ 1 1 1 1 1, 2 ( )2 1 3 3 2 2 1nn? ? ? ???＜ 1， 所以 13 nT?＜ 1?????????????????????????????????12分 21．解析：（ 1）因?yàn)?2, 3ca??，所以 1b? ??????????????????? 2分 所以橢圓的方程為 2 2 13x y??， 準(zhǔn)圓的方程為224xy??.????????????????????????????? 4分 （ 2）①當(dāng) 12,ll中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè) 1l 無斜率， 因?yàn)?1l 與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為 3x? 或 3x?? ， 當(dāng) 1l 方程為 3x? 時(shí)，此時(shí) 1l 與準(zhǔn)圓交于點(diǎn) ( 3,1)( 3, 1),? 此時(shí)經(jīng)過點(diǎn) ( 3,1) （或 3, 1)? 且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是 1y? (或 1)y?? ，即 2l 為 1y? (或 1)y?? ，顯然直線 12,ll垂直； 同理可證 1l 方程為 3x?? 時(shí)，直線 12,ll垂直 .????????????????????7分 ②當(dāng) 12,ll都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn) 00( , ),Px y 其中 22022xy??， 設(shè)經(jīng)過點(diǎn) 00( , ),Px y 與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為 00()y t x x y? ? ? ， 則 002 2()13y tx y txx y? ? ???? ????，消去 y 得到 22022 ( ( ) ) 3 0x tx y tx? ? ? ? ?， 即 2 2 20 0 0 0( 1 3 ) 6 ( ) 3 ( ) 3 0t x t y tx x y tx? ? ? ? ? ? ?， ? ? 2 220 0 0 06 ( ) 4 ( 1 3 ) 3 ( ) 3 0t y tx t y tx??? ? ? ? ? ? ? ? ???， 經(jīng)過化簡得到： 2 2 20 0 0 0( 3 ) 2 1 0x t x y t y? ? ? ? ?，????????????????????9分 因?yàn)?22022xy??，所以有 2 2 20 0 0 0( 3 ) 2 ( 3 ) 0x t x y t x? ? ? ? ?， 設(shè) 12,ll的斜率分別為 12,tt，因?yàn)?12,ll與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以 12,tt滿足上 述方程 2 2 20 0 0 0( 3 ) 2 ( 3 ) 0x t x y t x? ? ? ? ?， 所以 121tt? ?? ，即 12,ll垂直 .???????????????????????????12分 22．解析：（ 1） ( ) ln 1f x x? ??，當(dāng) 1(0, ), ( )x f xe ??＜ 0， ()fx單調(diào)遞減，當(dāng) 1( , )xe? ??， ()fx?＞ 0， ()fx單調(diào)遞增 . ① 0＜ t＜ t+2＜ 1e， t 無解； ② 0＜ t＜ 1e＜ t+2，即 0＜ t＜ 1e時(shí)，m in 11( ) ( )f x f ee? ? ?； ③ 1te?＜ t+2，即 1te?時(shí)， ()fx在 ? ?,2tt? 上單調(diào)遞增， m in( ) ( ) lnf x f t t t??； 所以m in1 ,0() 1ln ,efxt t t e????? ?? ??? . （ 2） 22 ln 3x x x ax? ? ? ?，則 32lna x xx? ? ?，設(shè) 3( ) 2 ln (h x x x xx? ? ?＞ 0），則2( 3)( 1)() xxhx x??? ?， (0,1), ( )x h x?? ＜ 0， ()hx 單調(diào)遞減， (1, ), ( )x h x?? ?? ＞ 0， ()hx 單調(diào)遞增，所以 min( ) (1) 4,h x h??因?yàn)閷σ磺?(0 , ), 2 ( ) ( )x f x g x? ?? ?恒成立，所以 min( ) 4a h x??； （ 3）問題等價(jià)于證明 lnxx＞ 2 ( (0, ))xx xee? ? ??，由（ 1）可知 ( ) ln ( (0 , ))f x x x x? ? ??的最小值是 1e?，當(dāng)且僅當(dāng) 1xe?時(shí)取到，設(shè) 2( ) ( ( 0 , ))xxm x xee? ? ? ??，則 1()xxmx e?? ?，易得max 1( ) (1)m x m e? ? ?，當(dāng)且僅當(dāng) 1x? 時(shí)取到，從而對一切 (0, )x? ?? ，都有 lnx ＞ 12xe ex?成立 . ＜ t＜ 1e
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