【正文】 立， ① 當(dāng) m1時， lgm0，所以 n＋ 1m(n＋ 2)對一切 n∈ N*恒成立； (11分 ) ② 當(dāng) 0m1時， lgm0，所以等價使得 n＋ 1n＋ 2m對一切 n∈ N*成立， 因?yàn)?n＋ 1n＋ 2＝ 1－ 1n＋ 2的最小值為 23，所以 0m23. 綜上，當(dāng) 0m23或 m1 時，數(shù)列 {}中每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng) .(13分 ) 28．已知數(shù)列 { na }、 { nb }滿足：11 21 , 1 ,41 nn n n nba a b b a?? ? ? ? ?. (1)求 1, 2 3 4,bb b b 。 (2)求數(shù)列 { nb }的通項(xiàng)公式； (3)設(shè) 1 2 2 3 3 4 1...n n nS a a a a a a a a ?? ? ? ? ?，求實(shí)數(shù) a 為何值時 4 nnaS b? 恒成立 解：（ 1) 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) 2nnn n n n n nbbb a a b b b? ? ? ?? ? ?＋ 第 18 頁 共 21 頁 ∵1113,44ab?? ∴2 3 44 5 6,5 6 7b b b? ? ? …………… 4分 （ 2）∵1 1112n nb b? ? ? ?? ∴121111 1 1nn n nbb b b??? ? ? ?? ? ? ∴數(shù)列 { 11nb?}是以－ 4為首項(xiàng)，－ 1為公差的等差數(shù)列 … ………… 6分 ∴ 1 4 ( 1 ) 31n nnb ? ? ? ? ? ? ?? ∴ 121 33n nb nn?? ??? …………… 8分 (3) 11 3nnabn? ? ? ? ∴1 2 2 3 1 1 1 1 1 14 5 5 6 ( 3 ) ( 4 ) 4 4 4 ( 4 )n n n nS a a a a a a n n n n?? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ∴ 22 ( 1 ) ( 3 6 ) 844 3 ( 3 ) ( 4 )nn a n n a n a na S b n n n n? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ……………1 0分 由條件可知 2( 1) (3 6) 8 0a n a n? ? ? ? ?恒成立即可滿足條件設(shè) 2( ) ( 1 ) 3 ( 2 ) 8f n a n a n? ? ? ? ? a＝ 1時， ( ) 3 8 0f n n? ? ? ?恒成立 , a1時，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立 al時，對稱軸 3 2 3 1(1 ) 02 1 2 1aaa?? ? ? ? ??? ……………1 3分 f(n)在 ( ,1]?? 為單調(diào)遞減函數(shù)． 2( 1 ) ( 1 ) ( 3 6 ) 8 ( 1 ) ( 3 6 ) 8 4 1 5 0f a n a n a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 154a? ∴ a1時 4 naS b? 恒成立 ……………1 5分 綜上知： a≤ 1時， 4 naS b? 恒成立 29． 已知等比數(shù)列 ??na 中 641?a ，公比 1?q ，且 2a ， 3a ， 4a 分別為某等差數(shù)列的第 5項(xiàng)，第 3項(xiàng)，第 2項(xiàng)． ⑴ 求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵ 設(shè) 12lognnba?，求數(shù)列 ? ?nb 的前 n 項(xiàng)和 nT ． 解： ⑴ 由條件知 ? ?2 3 3 42a a a a? ? ?． 即 ? ?2 2 31 1 1 12a q a q a q a q? ? ?， 又 .01 ??qa ∴ ? ? ? ?21 2 2 1q q q q q? ? ? ? ?，又 1q? ． ∴ .21?q ∴ 17116422nnna??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?． ………………………… 7分 第 19 頁 共 21 頁 ⑵ 12log a n? ? ???nb前 n 項(xiàng)和 ? ?13 .2n nnS ?? ∴ 當(dāng) 71 ??n 時， 0nb? ， ∴ 213 .2nn nnTS ?? ? ? 當(dāng) 8?n 時， 0nb? ， 21 2 7 8 9 7 ( 1 3 ) 1 3 8 42 4 222n n n n n n nT b b b b b b S S ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴2213 , 1 721 3 8 4 , 8 .2nnn n n NT nnn n N??? ? ? ? ???? ? ??? ????且且 30． 已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng) *11 ,3121,53 Nnaaaannn ????? （ 1）求 {}na 的通項(xiàng)公式； （ 2）證明：對任意的 *2 ),32()1( 11 1,0 Nnxxxax nn ???????． 解： (1) ∵ nnn aaa 3 1211??? ∴ 11 2 133nnaa? ?? ∴ 11 1 11 ( 1)3nnaa? ? ? ? 又 ∵ 121 3na ?? ∴ 1{ 1}na? 是以 23 為首 項(xiàng)， 13 為公比的等比數(shù)列 ∴ 11 2 1 21 3 3 3nnna ?? ? ? ? ∴ 332nn na ? ? 6分 (2) 由 (1) 知 3 032nn na ??? 221 1 2 1 1 2( ) ( 1 1 )1 ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 3nnxxx x x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 1 2[ ( 1 ) ]1 ( 1 ) ( 1 ) 1nnxx x a a x x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 211()1 n n nn a a aax? ? ? ? ?? ∴ 原不等式成立 13分 31．設(shè)函數(shù) ? ? ? ?21 0xf x xx???，數(shù)列 ??na 滿足1 111, n na a f a ?????????? ?*,2n N n??且。 第 20 頁 共 21 頁 ⑴求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè) ? ? 11 2 2 3 3 4 4 5 11 nn n nT a a a a a a a a a a? ?? ? ? ? ? ??? ? ?，若 2nT tn? 對 *nN? 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍； ⑶是否存在以 1a 為首項(xiàng)，公比為 ? ?*0 5,q q q N? ? ?的等比數(shù)列 ? ?kna， *kN? ，使得數(shù)列 ? ?kna中每一項(xiàng)都是數(shù)列 ??na 中不同 的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列 ??kn 的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由。 解：⑴因?yàn)?? ?*1 1111211 2 , , 21nnnnnaa f a n N naa????????? ? ? ? ? ?????且， 所以 1 2nnaa???．……………………………………………………………… 2 分 因?yàn)?1 1a? ，所以數(shù)列 ??na 是以 1 為首項(xiàng)，公差為 2 的等差數(shù)列 ． 所以 21nan???！?4分 ⑵①當(dāng) 2 , *n m m N??時， ? ? 212 1 2 2 3 3 4 4 5 2 2 11 mn m m mT T a a a a a a a a a a? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 3 4 3 5 2 2 1 2 1m m ma a a a a a a a a??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?2 4 24 ma a a? ? ? ? ? ? ?22224 8 4 2 22 maa m m m n n?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …………………………………………………………………… 6分 ②當(dāng) 2 1, *n m m N? ? ?時， ? ? 212 1 2 2 2 11 mn m m m mT T T a a???? ? ? ? ? ?2 2 28 4 ( 4 1 ) ( 4 1 ) 8 4 1 2 2 1m m m m m m n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………………………… 8分 所以 222 2 ,2 2 1nn n nTn n n????? ?????為 偶 數(shù) ， 為 奇 數(shù) 要使 2nT tn? 對 *nN? 恒成立， 第 21 頁 共 21 頁 2 2 2 22 2 , 2 2 1n n tn n n n tn n? ? ? ? ? ?為 偶 數(shù) 及 ， 為 奇 數(shù)同時恒成立， 即222,212,tnntnnn? ? ? ????? ? ? ???為 偶 數(shù)為 奇 數(shù)恒成立，所以 3t?? 。 故實(shí)數(shù) t 的取值范圍為 ? ?3???， ?！?10分 ⑶由 21nan??，知數(shù)列 ??na 中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù)． ①如存在以 1 1a? 為首項(xiàng)，公比 q 為 2或 4的數(shù)列 ? ?kna， *kN? ， 此時 ? ?kna中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù)，故不存在以 1a 為首項(xiàng)，公比為偶數(shù)的數(shù)列? ?kna ．…………………………………………………………………………………… 12 分 ②當(dāng) 1q? 時，顯然不存在這樣的數(shù)列 ? ?kna． 當(dāng) 3q? 時，若存在以 1 1a? 為首項(xiàng)，公比為 3的數(shù)列 ? ?kna， *kN? ． 則1 1na ?， 1 1n? ， 13 2 1k knkan?? ? ?， 1312kkn? ?? 。……… …………… 16 分 所以滿足條件的數(shù)列 ??kn 的通項(xiàng)公式為 1312kkn? ?? 。