【正文】 簡(jiǎn)得 223 4( 1)x y x? ? ? ?. 故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為 223 4( 1)x y x? ? ? ? （ II）解法一：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 00( , )xy ，點(diǎn) M ， N 得坐標(biāo)分別為 (3, )My ,(3, )Ny . 則直線 AP 的方程為 0011 ( 1)1yyxx ?? ? ?? ，直線 BP 的方程為 0011 ( 1)1yyxx ?? ? ?? 令 3x? 得 000431M yxy x??? ? ， 000231N yxy x??? ? . 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 31 于是 PMN 得面積 20 0 00 20| | ( 3 )1 | | ( 3 )2 | 1 |P M N M N x y xS y y x x??? ? ? ? ? 又直線 AB 的方程為 0xy??， | | 2 2AB? ， 點(diǎn) P 到直線 AB 的距離 00||2xyd ??. 于是 PAB 的面積 001 | | | |2PABS A B d x y? ? ? 當(dāng) PAB PMNSS? 時(shí)，得 20 0 000 20| | ( 3 )|| | 1 |x y xxy x???? ? 又 00| | 0xy??， 所以 20(3 )x? = 20| 1|x ? ，解得0 5| 3x?。 因?yàn)?220224xy??，所以0 339y ?? 故存在點(diǎn) P 使得 PAB 與 PMN 的面積相等，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 5 33( , )39? . 解法二：若存在點(diǎn) P 使得 PAB 與 PMN 的面積相等，設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 00( , )xy 則 11| | | | s in | | | | s in22P A P B A P B P M P N M P N? ? ?. 因?yàn)?si n si nAPB M PN? ? ?, 所以 | | | || | | |PA PNPM PB? 所以 000| 1 | | 3 || 3 | | 1 |xxxx????? 即 2200(3 ) | 1 |xx? ? ?，解得 0x 53? 因?yàn)?220224xy??，所以0 339y ?? 故存在點(diǎn) P S使得 PAB 與 PMN 的面積相等，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 5 33( , )39? . 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 32 15.（ 2022四川理） （ 20）（本小題滿分 12分） 已知定點(diǎn) A(－ 1， 0)， F(2， 0)，定直線 l： x＝ 12 ，不在 x軸上的動(dòng)點(diǎn) P與點(diǎn) F的距離是它到直線 l的距離的2倍 .設(shè)點(diǎn) P的軌跡為 E，過(guò)點(diǎn) F的直線交 E于 B、 C兩點(diǎn)，直線 AB、 AC分別交 l于點(diǎn) M、 N （Ⅰ）求 E的方程； （Ⅱ）試判斷以線段 MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn) F，并說(shuō)明理由 . 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲 線等基礎(chǔ)知識(shí)，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力 . 解： (1)設(shè) P(x,y)，則 22 1( 2 ) 2 | |2x y x? ? ? ? 化簡(jiǎn)得 x2－ 23y =1(y≠ 0)???????????????????????? 4分 (2)① 當(dāng)直線 BC與 x軸不垂直時(shí)，設(shè) BC的 方程為 y＝ k(x－ 2)(k≠ 0) 與雙曲線 x2－ 23y =1聯(lián)立消去 y得 (3－ k)2x2＋ 4k2x－ (4k2＋ 3)＝ 0 由題意知 3－ k2≠ 0且 △ ＞ 0 設(shè) B(x1,y1),C(x2,y2)， 則212 2212 243433kxxkkxxk? ???? ?? ?? ?? ?? y1y2＝ k2(x1－ 2)(x2－ 2)＝ k2[x1x2－ 2(x1＋ x2)＋ 4] ＝ k2( 224 3 833kk? ???＋ 4) ＝ 2293kk?? 因 為 x x2≠ － 1 所以直線 AB 的方程為 y＝ 11 1yx? (x＋ 1) 因此 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 1131,2 2( 1)yx ? ) 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 33 1133( , )2 2 ( 1)yFM x?? ?,同理可得 2233( , )2 2 ( 1)yFN x?? ? 因此 2 121293()2 2 ( 1 ) ( 1 )yyF M F N xx? ? ? ?? ＝222222814 34 3 49 4( 1 )33kkkkkk???? ???? ＝ 0 ② 當(dāng)直線 BC 與 x軸垂直時(shí)，起方程為 x＝ 2，則 B(2,3),C(2,－ 3) AB 的方程為 y＝ x＋ 1,因此 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 (13,22)， 33( , )22FM ?? 同理可得 33( , )22FN ? ? ? 因此 23 3 3( ) ( )2 2 2F M F N ? ? ? ? ?＝ 0 綜上 FMFN ＝ 0，即 FM⊥ FN 故以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) F?????????????????? 12分 16.（ 2022天津文） （ 21）（本小題滿分 14分） 已知橢圓 221xyab??（ ab0）的離心率 e= 32 ，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為 4. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)直線 l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A、 B，已知點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ a， 0） . （ i）若 42AB 5| |= ，求直線 l的傾斜角； （ ii）若點(diǎn) Q y0（ 0， ） 在線段 AB的垂直平分線上，且 QAQB=4 .求 y0 的值 . 【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力 .滿分 14分 . （Ⅰ）解：由 e= 32ca? ，得 2234ac? .再由 2 2 2c a b??，解得 a=2b. 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 34 由題意可知 1 2 2 42 ab? ? ? ，即 ab=2. 解方程組 2,2,abab??? ??得 a=2， b=1. 所以橢圓的方程為 2 2 14x y??. (Ⅱ )(i)解：由（Ⅰ）可知點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 2,0） .設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 11( , )xy ，直線 l 的斜率為 直線 l的方程為 y=k（ x+2） . 于是 A、 B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 22( 2),y k xx y????? ????消去 y并整理，得 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k? ? ? ? ?. 由 21 216 42 14kx k????，得 21 22814kx k?? ?.從而1 2414ky k? ?. 所以 2 2222 2 22 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4k k kAB k k k??????? ? ? ? ??? ??? ? ?????. 由 42||5AB? ，得 224 1 4 21 4 5kk? ??. 整理得 4232 9 23 0kk? ? ?，即 22( 1)(32 23 ) 0kk? ? ?，解得 k= 1? . 所以直線 l的傾斜角為 4? 或 34? . （ ii）解：設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 M，由（ i）得到 M的坐標(biāo)為 22282,1 4 1 4kk?????????. 以下分兩種情況： （ 1）當(dāng) k=0時(shí)，點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 2,0），線 段 AB 的垂直平分線為 y軸，于是 ? ? ? ?002 , , 2 , .Q A y Q B y? ? ? ? ?由 4A QB??，得 y 2 2??0 。 （ 2）當(dāng) 0k? 時(shí)，線段 AB的垂直平分線方程為 2222 1 81 4 1 4kkyxk k k??? ? ? ???????。 令 0x? ，解得0 2614ky k?? ?。 由 ? ?02,QA y? ? ? ， ? ?1 1 0,QB x y y??， 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 35 ? ? ? ?21 0 1 0 2 2 2 22 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y y k k k k?? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ?? ?42224 16 15 1 414kkk?????， 整理得 272k ? 。故 147k?? 。所以0 2 145y ??。 綜上， 0 22y ?? 或0 2 145y ?? 17.（ 2022天津理） （ 20）（本小題滿分 12分） 已知橢圓 22 1( 0xy abab? ? ? ? ）的離心率 32e? ，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為 4。 （ 1） 求橢圓的方程； （ 2） 設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) ,AB，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ ,0a? ），點(diǎn) 0(0, )Qy在線段 AB 的垂直平分線上，且 4QAQB? ，求 0y 的值 【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐 曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分 12 分 （ 1）解：由 3e 2ca?? ，得 2234ac? ，再由 2 2 2c a b??，得 2ab? 由題意可知， 1 2 2 4 , 22 a b a b? ? ? ?即 解方程組 22abab??? ?? 得 a=2,b=1 所以橢圓的方程為 2 2 14x y?? (2)解：由（ 1）可知 A（ 2,0）。設(shè) B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x1,y1） ,直線 l的斜率為 k，則直線 l的方程為 y=k(x+2), 于是 A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 22( 2)14y k xx y????? ???? 由方程組消去 Y并整理，得 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k? ? ? ? ? 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 36 由 21 216 42,14kx k????得 211222 8 4,1 4 1 4kkxy?????從 而 設(shè)線段 AB是中點(diǎn)為 M，則 M的坐標(biāo)為 22282( , )1 4 1 4kk? ?? 以下分兩種情況： （ 1）當(dāng) k=0時(shí)，點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 2,0）。線段 AB的垂直平分線為 y軸，于是 0 0 0( 2 , y ) , ( 2 , = 2Q A Q B y Q A Q B y? ? ? ?? ? ? ? ? ?） 由 4 ， 得 =2 （ 2）當(dāng) K 0? 時(shí)，線段 AB 的垂直平分線方程為 2222 1 8()1 4 1 4kkYxk k k? ? ??? 令 x=0，解得0 2614ky k? ? 由 0 1 1 0( 2 , y ) , ( ,Q A Q B x y y??? ? ? ? ? ） 21 0 1 0 2 2 2 22 ( 2 8 ) 6 4 62 ( ( )1 4 1 4 1 4 1 4k k k kQ A Q B x y y y k k k k?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?） = 42224 (1 6 1 5 1) 4(1 4 )kkk?? ??= 整理得 201 4 2 1 47 2 , =75k k y? ? ? ?故 所 以 綜上00 2 1 4= 2 2 = 5yy??或 18.（ 2022廣東理） 21．（本小題滿分 14 分） 設(shè) A( 11,xy),B( 22,xy)是平面直角坐標(biāo)系 xOy 上的兩點(diǎn)，先定義由點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一種折線距離 p(A,B)為 2 1 2 1( , ) | | | |P A B x x y y? ? ? ?. 遼寧高考數(shù)學(xué)命題教研小組 24 小時(shí)咨詢電話： 13591657580 （姚老師） 37 當(dāng)且僅當(dāng) 1 2 1