【正文】 取值范圍； （ 3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得 403130 , aaa ? 是公差為 3d 的等差數(shù)列， ?? ，依次類推，把已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列 . 提出同（ 2）類似的問題（（ 2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什 么樣的結(jié)論？ 解：（ 1）因?yàn)?a10=10,a20=10+10d=40,所以 d=3． （ 2）因?yàn)?a20=10+10d，所以 a30=a20+10d3=10(1+d+d2)(d≠0) ． 顯然 ，注意到 d≠0 ．于是 當(dāng) d∈ ∞,0)∪(0,+∞) 時(shí)， a30∈[15/2 ， +∞) . （ 3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列 {an}，其中 a1,a2,?,a 10是首項(xiàng)為 1，公差為 1的等差數(shù)列，當(dāng) n≥1 時(shí)，數(shù)列 a10n,a10n+1,?a 10(n+1)是公差為 dn的等差數(shù)列． 研究的問題可以是：試寫出 a10(n+1)關(guān)于 d的關(guān)系式，并求 a10(n+1)的取值范圍． 研究的結(jié)論可以是：由 a40=a30+10d3=10(1+d+d2+d3)， 依次類推，可得 當(dāng) d0 時(shí)， a10(n+1)的取值范圍為 (10,+∞) 等． 【 2022年高考試題】 用心 愛心 專心 33 選擇題 1. （廣東卷）已知數(shù)列 ??nx 滿足 12 2xx?， ? ?1212n n nx x x????， 3,4,n? ? ．若lim 2nn x?? ? ，則 (B) （Ａ） 32 （Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 4. （湖南卷）已知數(shù)列 {log2(an－ 1)}（ n∈N *）為等差數(shù)列，且 a1＝ 3， a2＝ 5，則 nnn aaaaaa ?????? ??? 12312l i m 111( ??= （ C） A． 2 B． 23 C． 1 D． 21 5. （湖南卷）設(shè) f0(x)＝ sinx， f1(x)＝ f0′( x)， f2(x)＝ f1′( x)， ? ， fn＋ 1(x)＝ fn′( x)，n∈N ，則 f2022(x)＝（ C） A． sinx B．－ sinx C． cosx D．－ cosx 6. （江蘇卷） 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛ an｝中，首項(xiàng) a1=3 ，前三項(xiàng)和為 21，則 a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (全國(guó)卷 II) 如果數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列，則 (B ) (A) 1 8 4 5a a a a? ? ? (B) 1 8 4 5a a a a? ? ? (C) 1 8 4 5a a a a? ? ? (D) 1 8 4 5aa aa? 8. (全國(guó)卷 II) 11如果 1 2 8, , ,a a a 為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差 0d? ，則 (B) (A) 1 8 4 5aa aa? (B) 1 8 4 5aa aa? (C) 1 8 4 5a a a a? ? ? (D) 1 8 4 5aa aa? 用心 愛心 專心 34 [答 ]( C ) (A)3600 (B) 1800 (C)1080 (D)720 11. （浙江卷） limn?? 21 2 3 nn? ? ? ?＝ ( C ) (A) 2 (B) 4 (C) 21 (D)0 12. (重慶卷 ) 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為 2，且改塔形的表面積 (含最底層正方體的底面面積 )超過 39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是 ( C) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。 13. （江西卷） 填空題 1. （廣東卷） 用心 愛心 專心 35 設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線 ( 3)n? ，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三角形不過同一點(diǎn)．若用 ()fn表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù) ，則 (4)f _____5________；當(dāng)ｎ＞４時(shí)， ()fn＝__ )1)(2(21 ?? nn ___________． 3. （湖北卷）設(shè)等比數(shù)列 }{na 的公比為 q，前 n項(xiàng)和為 Sn，若 Sn+1,Sn， Sn+2成等差數(shù)列，則 q的值為 2 . 4. (全國(guó)卷 II) 在 83和 272之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為 _______216 __． 5. （山東卷） 2222 3l im _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 1 ) 2nnnnCCn ???? ?? 6. （上海） 1用 n 個(gè)不同的實(shí)數(shù) naaa , 21 ? 可得到 !n 個(gè)不同的排列，每個(gè)排列為一行寫成一個(gè) !n 行的數(shù)陣。對(duì)第 i 行 inii aaa , 21 ? ，記 inniiii naaaab )1(32 321 ??????? ，!,3,2,1 ni ?? 。例如：用 1， 2， 3可得數(shù) 陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是 12，所以， 2412312212621 ??????????? bbb ? ，那么，在用 1， 2， 3， 4， 5形成的數(shù)陣中， 12021 bbb ??? ? =_1080_________。 用心 愛心 專心 36 解答題 1.（北京卷） 設(shè)數(shù)列 {an}的首項(xiàng) a1=a≠ 41 ，且 11 為偶 數(shù)21 為奇 數(shù)4nnnanaan????? ?? ???, 記21 14nnba???， n＝＝ l， 2， 3， ?178。 ． （ I）求 a2， a3； （ II）判斷數(shù)列 {bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； （ III）求1 2 3lim ( )nn b b b b?? ? ? ? ?． 解：（ I） a2＝ a1+41 =a+41 ， a3=21 a2=21 a+81 ； （ II） ∵ a4=a3+41 =21 a+83 , 所以 a5=21 a4=41 a+316 , 所以 b1=a1－ 41 =a－ 41 , b2=a3－ 41 =21 (a－ 41 ), b3=a5－ 41 =41 (a－ 41 ), 猜想： {bn}是公比為 21 的等比數(shù)列 178。 證明如下： 因?yàn)?bn+1＝ a2n+1－ 41 =21 a2n－ 41 =21 (a2n－ 1－ 41 )=21 bn, (n∈ N*) 所以 {bn}是首項(xiàng)為 a－ 41 , 公比為 21 的等比數(shù)列 178。 用心 愛心 專心 37 （ III） 1 1121( 1 )12l im ( ) l im 2( )11 41122nnnnb bb b b a? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???. （ II）由（ I）可 知 2 4 2, , , na a a 是首項(xiàng)為 31 ，公比為 24()3 項(xiàng)數(shù)為 n 的等比數(shù)列， ∴ 2 4 6 2 na a a a? ? ? ?=22241 ( )1 3 43 [ ( ) 1 ]43 7 31 ( )3nn?? ? ?? 3．（福建卷） 已知 { na }是公比為 q的等比數(shù)列，且 231 , aaa 成等差數(shù)列 . （ Ⅰ ）求 q的值； （ Ⅱ ）設(shè) {nb }是以 2為首項(xiàng)， q為公差的等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為 Sn，當(dāng) n≥2 時(shí)，比較Sn與 bn的大小，并說明理由 . 解：（ Ⅰ ）由題設(shè) ,2,2 1121213 qaaqaaaa ???? 即 .012,0 21 ????? qq? .211 ??? 或q （ Ⅱ ）若 .2 312 )1(2,1 2 nnnnnSqn ??????? 則 用心 愛心 專心 38 當(dāng) .02 )2)(1(,21 ??????? ? nnSbSn nnn時(shí) 故 .nn bS ? 若 .4 9)21(2 )1(2,21 2 nnnnnSqn ????????? 則 當(dāng) ,4 )10)(1(,21 ??????? ? nnSbSn nnn時(shí) 故對(duì)于 .,11。,10。,92, nnnnnn bSnbSnbSnNn ???????? ? 時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng) 用心 愛心 專心 39 .0.11111.1111.1111,.}{.11,1,1:)(.032.32,11.21,11.1,011,0:.032.12231111211,1111111212123112111422233344342312?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnabbaabbaabbaababababbbbbbIIaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????中的任一個(gè)數(shù)不妨設(shè)取數(shù)列解法一時(shí)故當(dāng)解法二時(shí)故當(dāng) 故 a取數(shù)列 {bn}中的任一個(gè)數(shù)，都可以得到一個(gè)有窮數(shù)列 {an} 5. （ 湖 北 卷 ） 設(shè) 數(shù) 列 }{na 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=2n2 ， }{nb 為等比數(shù)列，且.)(, 112211 baabba ??? （ Ⅰ ）求數(shù) 列 }{na 和 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ Ⅱ ）設(shè)nnn bac ? ，求數(shù)列 }{nc 的前 n項(xiàng)和 Tn. 解：（ 1）：當(dāng) 。2,1 11 ??? San 時(shí) ,24)1(22,2 221 ???????? ? nnnSSan nnn時(shí)當(dāng) 故 {an}的通項(xiàng)公式為 4,2}{,24 1 ???? daana nn 公差是即 的等差數(shù)列 . 設(shè) {bn}的通項(xiàng)公式為 .41,4,11 ???? qdbqdbq 則 故 .4 2}{,4 121111 ??? ???? nnnnnn bbqbb 的通項(xiàng)公式為即 （ II）,4)12(4 224 11??????? nnnnn nnbac? 用心 愛心 專心 40 ]4)12(4)32(454341[4 ],4)12(45431[ 13212121nnnnnnnnT ncccT ??????????? ????????????? ??? ?? 兩式相減得 ].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(213 1321???????????????? ?nnnnnnnTnnT ? 6. （湖北卷）已知不等式 nnn 其中],[l og21131212???? ?為大于 2的整數(shù)， ][log2n表 示 不 超 過 n2log 的 最 大 整 數(shù) . 設(shè) 數(shù) 列 }{na 的 各 項(xiàng) 為 正 ， 且 滿 足?,4,3,2,),0( 111 ????? ?? nan naabba nnn （ Ⅰ ）證明 ?,5,4,3,][l og2 2 2 ??? nnb ba n （ Ⅱ ）猜測(cè)數(shù)列 }{na 是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； （ Ⅲ ）試確定一個(gè)正整數(shù) N，使得當(dāng) Nn? 時(shí)，對(duì)任意 b0，都有 .51?na ∵ .][l og2 ][l og2][l og2111, 2221 nb bab nbnbaba nn ???????? 證法 2：設(shè) nnf 13121)( ???? ?，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 用心 愛心 專心 41 .,5,4,3,)(1 ???? nbnfba n （ i）當(dāng) n=3時(shí) ， 由 .)3(11223313333112223 bfbaaaaaa?????????? 知不等式成立 . （ Ⅱ ）有極限，且 .0lim ??? nn a （ Ⅲ