【正文】 列三的數(shù)學(xué)課程，供高二學(xué)生選修，已知高二年級(jí)共有學(xué)生 600 人，他們每人都參加且只參見一門課程的選修．為了了解學(xué)生對(duì)選修課的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取 30 名學(xué)生進(jìn)行座談，據(jù)統(tǒng)計(jì)，參見《數(shù)學(xué)史選講》、《對(duì)稱與群》、《球面上的幾何》的人數(shù)依次組成一個(gè)公差為 40? 的等差數(shù)列，則應(yīng)抽取參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生的人數(shù)為 【解析】 C 方法 ，參加《對(duì)稱與群》的學(xué)生人數(shù)一定是 200 ，故參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生人數(shù)為 240 ．抽取比例是 30 1600 20? ，故應(yīng)該抽取 1240 1220??人． 方法 ，抽取的人數(shù)也成等差數(shù)列，且公差為 2? ，又參見《對(duì)稱與群》的學(xué)生抽取 10人，故參加《數(shù)學(xué)史選講》的學(xué)生應(yīng)該抽取 12人． ． 由圖形中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)中位數(shù) 和平均數(shù) 分別是 （ ） A． , B． ,13 C． 13, D． 13,13 【 解析 】 D 由于中位數(shù)是位于中間的數(shù)，在全部數(shù)據(jù)中比中位數(shù)小的和比中位數(shù)大的各占 50% ，因此在頻率分布直方圖中位于這個(gè)數(shù)據(jù)兩邊的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)相等，如果以這個(gè)數(shù)據(jù)作一條垂直與橫軸的直線，則這條直線把頻率分布直方圖中各個(gè)矩形的面積等分為兩部分，這樣 我們就得到了一個(gè)估計(jì)計(jì)算方法，即在頻率分布直方圖中從左到右（從右到左也行），逐個(gè)計(jì)算各個(gè)小矩形的面積，當(dāng)?shù)竭_(dá)某個(gè)小矩形的累加面積超過 時(shí)，中位數(shù)就在這個(gè)小矩形的區(qū)間內(nèi)，以這個(gè)小矩形對(duì)應(yīng)的區(qū)間左端點(diǎn)值加上使其累計(jì)面積等于 的那個(gè)小矩陣的底邊長度．一般是以各組的組中值乘以各組的頻率之和估計(jì)平均數(shù)． 中位數(shù)是 ???． 平均數(shù)是 12. 5 17. 5 13x ? ? ? ? ? ? ?. 第四講 算法初步與復(fù)數(shù) ，若輸入的 6, 5nm??，則輸出結(jié)果是 ． 【 解析 】 720 第一次是 1, 1 2kp? ? ? ；第二次是 1 2 3, 2pk? ? ? ?；第三次 3, 1 2 3 4kp? ? ? ? ?；第四次 4 , 1 2 3 4 5kp? ? ? ? ? ?；第五次 5 , 1 2 3 4 5 6 720kp? ? ? ? ? ? ? ?．至此程序結(jié)束，故輸出結(jié)果是 720 ． z 的共軛復(fù)數(shù)是 z ，或 1, 1z z zz? ? ? ，則 zz 等于 A. 1? B. i? C. 1322i?? D. 1322i?? 【解析】 D 設(shè) ( , )z a bi a b? ? ? R， 則 z a bi?? ，由 1, 1z z zz? ? ? 得 21a? 且 221ab??，解得12a? ， 32b?? ，即 1322zi?? 或者 1322zi?? ． 當(dāng) 1322zi?? 時(shí)， 2131 3 1 322 ()2 2 2 21322iziizi?? ? ? ? ? ??， 同 理 當(dāng) 1322zi?? 時(shí)，1322z iz ?? ? ．正確選項(xiàng) D． 專題七 不等式選講 1. 不等式 2 14xx? ? ? 的解集是 。 【解析】 1 1 3 1 2 1,22??? ? ????? 當(dāng) x? 時(shí)，不等式即 2 50xx? ? ? ，此時(shí)不等式的解是1 211 2x ???? ；當(dāng) 1x? 時(shí)，不等式即 2 30xx? ? ? ，此時(shí)不等式的解是 1 13 12 x? ??。綜合知，所求不等式的解集是 1 1 3 1 2 122x? ? ??? 。 21 2 1x x t at? ? ? ? ? ?，對(duì)任意 ? ?0,1a? 恒成立，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是 。 【 解析 】 ? ?1,0? 問題等價(jià)于 2m in1 2 1x x t a t? ? ? ? ? ? ? ???，對(duì)任意 ? ?0,1a? 恒成立，根據(jù)絕對(duì)值三角不等式， 1 2 ( 1 ) ( 2) 1x x x x? ? ? ? ? ? ? ?，問題等價(jià)于 2 0t at??對(duì)任意 ? ?0,1a? 恒成立。令2()f a ta t??，則只要 (0) 0,(1) 0ff ??? ??即可，即 2 0tt??，解得 10t? ? ? 。 函數(shù)與方程思想 1. （方程思想）已知 等比數(shù)列 {}na 中 ，已知 142, 16aa??， 若 35,aa分別為等差數(shù)列 {}nb 的第 3 項(xiàng)和第 5 項(xiàng)， 則數(shù)列 ??nb 的通項(xiàng)公式 nb 。 【解析】 12 28n? 設(shè) {}na 的公比為 q ， 由已知得 316 2q? ，解得 2q? ，故 3 8a? ， 5 32a? ，則3 8b? ， 5 32b? 設(shè) {}nb 的公差為 d ，則有 112 8,4 ???? ???解得 1 16,???? ??從而 1 6 1 2 ( 1 ) 1 2 2 8nb n n? ? ? ? ? ?。 2.（函數(shù)思想 ） 已知函數(shù) 2( ) 2 lnf x x x ax? ? ?（ a?R ）， 如果函數(shù) ()fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 12,xx且12xx? ，證明對(duì)滿足 1,p q p q? ? ? 的任意正常數(shù)， 1239。( ) 0f px qx??恒成立． 【 解析 】 由于函數(shù) ()fx 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 12,xx，所以 21 1 122 2 22 l n 0 ,2 l n 0 .x x a xx x a x? ? ? ?? ? ? ??兩式相減得12 12122 ( ln ln ) ()xxa x xxx?? ? ?? ． 239。( ) 2f x x ax? ? ?，所以 121 2 1 2 1 21 2 1 22 ( l n l n )239。( ) 2 ( ) ( )xxf p x q x p x q x x xp x q x x x???? ? ? ? ? ? ????? ?? 12 211 2 1 22 ( l n l n )2 ( 2 1 ) ( )xx p x xp x q x x x?? ? ? ? ???． ∵ 21p p q? ? ? ， 21xx? ， ∴ 21(2 1)( )p x x??． 要證明 1239。( ) 0f px qx??， 只 要 證 明 121 2 1 22 ( ln ln )2 0xxp x q x x x?????， 即 只 要 證 明2 1 11 2 2ln 0x x xpx qx x? ??? 即可 ，即證明1211 221ln 0xxxx xpqx????即可。 令 12 (0 1)x ttx ? ? ? ，即只要證明 1( ) lntg t tpt q???? 早 01t?? 上恒成立． 222 22 2 2 2( 1 ) ( )1 ( ) ( 1 ) 1 1 1 ( )39。( ) ( ) ( ) ( ) ( )qp t tpt q t p pt q t pgtpt q t pt q t t pt q t pt q??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?． ∵ 1pq??， pq? ， ∴ 1qp?， 22 1qp?． ∴ 當(dāng) 01t?? 時(shí)， 221 0, 0qttp? ? ? ?， ∴ 39。( ) 0gt? ， ∴ 函數(shù) ()gt 在 (0,1) 上為增函數(shù)，∴ ( ) (1) 0g t g??． ∴ 2 1 11 2 2ln 0x x xpx qx x? ??? ，故所證明的不等式成立． 數(shù) 形結(jié)合思想 1. 已知 ,ab是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 c 滿足 ( ) ( ) 0a c b c? ? ? ?則 c 的最大值是 。 【解析】 把三個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起，如圖所示，向量 c 的終點(diǎn)，必須在以線段 AB 為直徑的圓上，這個(gè)圓上的點(diǎn)到點(diǎn) O 的最大距離為 2 ，這就是所求的最大值。 2. 函數(shù) ()fx lnbax xx? ? ? ．當(dāng) ()fx在 2, 4xx??處取得極值時(shí)，若方程 ()f x c? 在區(qū)間 ? ?1,8 內(nèi)有三個(gè) 不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍（必要時(shí)可以利用 ln2 ? ）． 【解析】 方程 ()f x c? 在區(qū)間 ? ?1,8 內(nèi)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，類似與下面的圖示，由于函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間 ? ?1,8 內(nèi)，根據(jù)圖示，只有當(dāng) c 介于 (2), (8)ff中的較大者， (1), (4)ff的較小者時(shí)即可． ( ) lnbf x ax xx? ? ?， 2 139。( ) bf x a xx? ? ? ?． ()fx 在 2, 4xx??處取得極值， 39。( 2) 0 , 39。( 4) 0ff? ? ?， 即1 0,421 0.16 4baba? ? ? ????? ? ? ???，解得1,64.3ab? ?????? ???? 此時(shí) 4( ) ln63xf x xx? ? ? ?， 由 22 2 21 4 1 6 8 ( 2 ) ( 4 )39。( ) 6 3 6 6x x x xfx x x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?， 當(dāng) (1,2)x? 時(shí)， 39。( ) 0fx? ，故 ()fx在 (1,2) 單調(diào)遞減；當(dāng) (2,4)x? 時(shí)， ? ?39。 0fx? ， ()fx在 (2,4)上單調(diào)遞增；當(dāng) (4,8)x? 時(shí)， 39。( ) 0fx? ， ()fx在 (4,8) 上單調(diào)遞減． 1 4 7(1 ) l n 1 1 . 1 6 76 3 6f ? ? ? ? ? ? ， 2 4 1( 2 ) l n 2 l n 2 1 . 0 2 66 6 3f ? ? ? ? ? ? ?， 4 4 1( 4 ) l n 4 2 l n 2 1 . 0 5 36 3 4 3f ? ? ? ? ? ? ? ??， 8 4 7( 8 ) l n 8 3 l n 2 0 . 9 1 26 3 8 6f ? ? ? ? ? ? ? ??． 故函數(shù)在 ? ?2,8 的最大值是 (1)f ，最小值是 (8)f ．方程 ()f x c? 在區(qū)間 ? ?1,8 內(nèi)有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則只要 c 介于函數(shù)的極大值和極小值之間即可，故 c 的取值范圍是 11ln 2 , 2 ln 233??? ? ?????． 分類討論思想 ( ) 1 2f x x x x? ? ? ? ?． （ 1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （ 2）設(shè) 2()g x x bx? ? ? ，若對(duì)任意的 ? ?12, 1,4xx?? ， 12( ) ( )f x g x? 恒成立，求 b 的取值范圍． 【 解析 】（ 1）函數(shù)3 3 , 0 ,3 , 0 1,()1,1 2 ,3 3 , 3.xxxxfxxxxx? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??? ???由于這個(gè)函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，在 ( ,0]?? 和 (0,1] ，函數(shù)是單調(diào)遞減的，在 (1,2],(2, )?? 函數(shù)是單調(diào)遞增的，在 1x? 處圖象連續(xù)．所以函數(shù) ()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ,1]?? ，單調(diào)遞增區(qū)間是 [1, )?? ． （ 2）由（ 1）知，函數(shù) ()fx在區(qū)間 ? ?1,4? 上的 1x? 處取得最小值，即 m in( ) (1) 2f x f??． 當(dāng) 12b?? ，即 2b?? 時(shí)，函數(shù) ()gx 在 ? ?1,4? 單調(diào)遞減，其最大值為 ( 1) 1gb? ?? ? ．由 21b?? ? 得3b?? ．故此時(shí) 32b? ? ?? ； 當(dāng) 142b? ? ? ，即 28b? ? ? 時(shí)，函數(shù) ()gx在 2bx? 處取得最大值，其最大值為 2()24bbg ? ．由 22 4b?得 2 2 2 2b? ? ? ．故此時(shí) 2 2 2b? ? ? ； 當(dāng) 42b? ，即 8b? 時(shí)，函數(shù) ()gx在 ? ?1,4? 單調(diào)遞增，其最大值 為 (4) 14 4gb? ? ? ．由 2 16 4 b?? ? ，得 92b? ．故此時(shí) b 無解． 綜上所述，得 b 的取值范圍是 ( ,2 2]?? ． 1( ) l n , ( 0 1 )af x x a x ax?? ? ? ? ?， 討論 ()fx的單調(diào)性 . 【 解析 】 2 11)(39。 xaaxxf ???? 22 1x axax ????? ， ),0( ???x 。 由 39。( ) 0fx? ， 即 2 10ax x a? ? ? ?， 解得1211, 1xxa? ? ?。 （ 1）若 10 2a?? ，則 21xx? 。當(dāng) 01x??或者 1 1x a??是， 39。( ) 0fx? ；當(dāng) 111x a? ? ? 時(shí)，39。( ) 0fx? 。故此時(shí)函數(shù) ()fx的單調(diào)遞減區(qū)間是 1(0,1),( , )a ?? ，單調(diào)遞增區(qū)間是 1(1, 1)a? ； （ 2）若 12a? 時(shí) ， 12xx? ，此時(shí) 39。( ) 0fx? 恒成立，且僅僅在 12x? 處等于零，故此時(shí)函數(shù) ()fx在(0, )?? 上單調(diào)遞減； （ 3）若 1 1