【正文】 延長線于點(diǎn) N ∴ AM=HFAN=EG ∵ 正方形 ABCD， ∴ AB=AD， ∠ BAD=∠ ADN=90176。， ∵ EG⊥ FH ∴∠ NAM=90176。 ∴∠ BAM=∠ DAN 在 △ ABM和 △ ADN中， ∠ BAM=∠ DAN， AB=AD， ∠ ABM=∠ ADN ∴△ ABM≌△ ADN， ∴ AM=AN 即 EG=FH； （ 2）結(jié)論： EG： FH=3： 2 證明：過點(diǎn) A作 AM∥ HF交 BC于點(diǎn) M，作 AN∥ EG交 CD的延長線于點(diǎn)N ∴ AM=HF， AN=EG， ∵ 長方 形 ABCD， ∴ AB=AD∠ BAD=∠ ADN=90176。， ∵ EG⊥ FH， ∴∠ NAM=90176。， ∴∠ BAM=∠ DAN， ∴△ ABM∽△ ADN， ∴ ， ∵ AB=2BC=AD=3， ∴ ； 解：（ 3）過點(diǎn) A作 AM∥ HF交 BC于點(diǎn) M，過點(diǎn) A作 AN∥ EG交 CD于點(diǎn) N， ∵ AB=1， AM=FH= ∴ 在 Rt△ ABM中， BM= 將 △ AND繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)到 △ APB， ∵ EF與 FH的夾角為 45176。， ∴∠ MAN=45176。， ∴∠ DAN+∠ MAB=45176。， 即 ∠ PAM=∠ MAN=45176。， 從而 △ APM≌△ ANM， ∴ PM=NM， 設(shè) DN=x，則 NC=1x， NM=PM= +x 在 Rt△ CMN中，（ +x） 2= +（ 1x） 2， 解得 x= ， ∴ EG=AN= = ， 答： EG的長為 ． 點(diǎn)評： 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識．通過輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對全等或相似的三角形中是本題的基本思路． 答題： MMCH老師 ；審題： mama258老師 ． ☆☆☆☆☆ 隱藏解析 體驗(yàn)訓(xùn)練 收藏 評論 下載 試題籃 143 如圖，在 △ ABC中， AB=AC=5， BC=6， D、 E分別是邊 AB、 AC上的兩個動點(diǎn)（ D不與 A、 B重合），且保持 DE∥ BC，以 DE為邊，在點(diǎn) A的異側(cè)作正方形 DEFG． （ 1）試求 △ ABC的面積； （ 2）當(dāng)邊 FG與 BC重合時，求正方形 DEFG的邊長； （ 3）設(shè) AD=x， △ ABC與正方形 DEFG重疊部分的面積為 y，試求 y關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域； （ 4）當(dāng) △ BDG是等腰三角形時，請直接寫出 AD的長． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì) ； 等腰三角形的性質(zhì) ； 勾股定理 ． 專題： 新定義 ； 動點(diǎn)型 ； 開放型 ． 分析： （ 1）作底邊上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面積． （ 2）根據(jù) DE∥ BC，得到 △ ADE∽△ ABC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似 比即可求出邊 DE的長度． （ 3）可以分為正方形在三角形內(nèi)部和不全在內(nèi)部兩種情況求解，全在內(nèi)部時，利用三角形相似得 = ，求出 DE，再求重疊部分正方形的面積，不全在內(nèi)部時先求出長 DE，再利用 DG∥ AH，求出寬． 解答： 解：（ 1）過 A作 AH⊥ BC于 H， ∵ AB=AC=5， BC=6， ∴ BH= BC=3， ∴ AH= = =4， ∴ S△ ABC= BC?AH= 64=12． （ 2）令此時正方形的邊長為 a， ∵ DE∥ BC．， ∴ ， ∴ a= ． （ 3）當(dāng) DE= 時，由 △ ADE∽△ ABC得 = ，解得 AD=2， 當(dāng) 0＜ x≤2時，正方形全部在三角形內(nèi)部，由 = 得： = ， DE= x， y=（ x） 2= x2， 當(dāng) 2＜ x≤5時， y= ? （ 5x） = x x2． （ 4） ． 點(diǎn)評： 本題考查了正方形、等腰三角形的性質(zhì)，相似比等相關(guān)知識，解題時，注意形數(shù)結(jié)合，分類討論． 答題： zhangCF老師 ；審題： lbz老師 ． ☆☆☆☆☆ 隱藏解析 體驗(yàn)訓(xùn)練 收藏 評論 下載 試題籃 143 如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) N是 CD的中點(diǎn)， M是 AD邊上不同于點(diǎn) A、 D的點(diǎn)，若 ，求證： ∠ NMB=∠ MBC． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì) ． 分析： 分別延長 BC、 MN 相交于點(diǎn) E，設(shè) AM=1，根據(jù) ，求出 BM= ，則 ；所以 DM=ADAM=2，利用 Rt△ DMN可求得， MN= ，根據(jù) △ MDN ≌△ ECN（ ASA），可求得 CE=MD= ， ME=MN+NE= BE=BC+CE=5，所以 ME=BE即 ∠ NMB=∠ MBC． 解答： 證明：證法一：如圖， 分別延長 BC、 MN 相交于點(diǎn) E， 設(shè) AM=1， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ DM=ADAM=2，且 ， 在 Rt△ DMN中， ， 又 ∵∠ MDN=∠ ECN=90176。， ∠ MND=∠ ENC， ∴△ MDN ≌△ ECN（ ASA）， ∴ CE=MD=2， ， ∴ ME=MN+NE=5， BE=BC+CE=5， ∴ ME=BE， ∴∠ NMB=∠ MBC； 證法二：設(shè) AM=1，同證法一 ； 如圖， 將 △ ABM繞點(diǎn) A順時針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ BCE，連接 ME， ∵∠ BCE=∠ BCD=90176。， ∴∠ NCE是平角，即點(diǎn) N、 C、 E三點(diǎn)共線， ∴∠ BMA=∠ BECCE=AM= BE=BM， ∴∠ BME=∠ BEM， ∵ ， ∴∠ NME=∠ NEM， ∴∠ BME+∠ NME=∠ BEM+∠ NEM， ∴∠ BMN=∠ BEC=∠ AMB， 又 ∵∠ AMB=∠ MBC， ∴∠ BMN=∠ MBC． 點(diǎn)評： 主要考查了正方形的性質(zhì)和利用等腰三角形的性質(zhì)來求證等角的方法．要掌握正方形中一些特殊的性質(zhì)：四邊相等，四角相等，對角線相等且互相平分．分別求出 BE， ME 的長度是解題的關(guān)鍵． 答題： lanyuemeng老師 ；審題： zhangchao老師 ． ☆☆☆☆☆ 隱藏解析 體驗(yàn)訓(xùn)練 收藏 評論 下載 試題籃 143 如圖甲，在 △ ABC中， ∠ ACB為銳角．點(diǎn) D為射線 BC上一動點(diǎn)，連接 AD，以 AD為一邊且在 AD的右側(cè)作正方形 ADEF．解答下列問題： （ 1）如果 AB=AC， ∠ BAC=90度． ① 當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC上時（與點(diǎn) B不重合），如圖甲，線段 CF、 BD之間的位置關(guān)系為 垂直 ，數(shù)量關(guān)系為 相等 ． ② 當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC的延長線上時，如圖乙， ① 中的結(jié)論是否仍然成立為什么（要求寫出證明過程） （ 2）如果 AB≠AC， ∠ BAC≠90176。，點(diǎn) D在線段 BC上運(yùn)動．且 ∠ BCA=45176。時， ① 請你判斷線段 CF、 BD之間的位置關(guān)系，并說明理由（要求寫出證明過程）． ② 若 AC=4 ， CF=3．求正方形 ADEF的邊長（要求寫出計算過程）． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì) ； 全等三角形的判定與性質(zhì) ； 勾股定理 ． 專題： 動點(diǎn)型 ． 分析： （ 1） ① 根據(jù)正方形的邊相等，得 AD=AF，根據(jù)正方形的角是直角，得 ∠ BAD=∠ CAF，再根據(jù) SAS證明 △ DAB≌△ FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析； ② 和 ① 中的證明思路類似，只是證明夾角的時候，是直角加上公共的一部分； （ 2）作輔助線，構(gòu)造和（ 1）中類似的圖形進(jìn)行證明；作構(gòu)造的等腰直角三角形底邊上的高，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一求得 AD所在的直角三角 形的兩條直角邊，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算． 解答： 解：（ 1） ① 垂直，相等． ② 當(dāng)點(diǎn) D在 BC的延長線上時 ① 的結(jié)論仍成立． 證明： ∵ 正方形 ADE， ∴ AD=AF， ∠ DAF=90176。， ∵∠ DAF=∠ BAC， ∴∠ DAB=∠ FAC， ∵ AB=AC， AD=AF， ∴△ DAB≌△ FAC， ∴ CF=BD， ∠ ACF=∠ B， ∵∠ BAC=90176。， AB=AC， ∴∠ ABC=45176。， ∴∠ ACF=∠ ACB+∠ ACF=90176。， 即 CF⊥ BD． （ 2） ① 當(dāng) ∠ BCA=45176。， CF⊥ BD，如圖丙 證明：過點(diǎn) A作 AG⊥ AC于 A交 BC于點(diǎn) G， ∴∠ AGC+∠ ACG=90176。， ∵∠ ACG=45176。， ∴∠ AGC∠ ACG=45176。， ∴ AC=AG， 與（ 1） ② 同理， CF⊥ GD，即 CF⊥ BD． ② 解：過點(diǎn) A作 AH⊥ BC于點(diǎn) H， 與（ 1） ② 同理， CF⊥ GD， ∵ AC=AG， AC=4 ， CF=3， ∴ GD=3， AG=4 ， ∴ 在 Rt△ ACG中， GC= =8， ∴ CD=GCGD=5， ∵ AC=AG， AH⊥ GC， ∴ GH=CH= GC=4， ∴ DH=CDCH=1， ∵ 在 Rt△ ACG中， GH=CH， ∴ AH= GC=4， ∴ 在 Rt△ ADH中， AD= ． 點(diǎn)評： 在做一題多變的時候，思路是相通的，能夠把較為復(fù)雜的情況和簡單情況建立聯(lián)系進(jìn)行解決． 答題： kuaile老師 ；審題： lbz老師 ． ☆☆☆☆☆ 隱藏解析 體驗(yàn)訓(xùn)練 收藏 評論 下載 試題籃 143 如圖， P是正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，在正方形 ABCD外有一點(diǎn) E，滿足 ∠ ABE=∠ CBP， BE=BP ． （ 1）在圖中是否存在兩個全等的三角形，若存在請寫出這兩個三角形并證明；若不存在請說明理由； （ 2）若（ 1）中存在，這兩個三角形通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合嗎？若重合請說出旋轉(zhuǎn)的過程；若不重合請說明理由； （ 3） PB與 BE有怎樣的位置關(guān)系，說明理由； （ 4）若 PA=1， PB=2， ∠ APB=135176。，求 AE的值． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì) ； 全等三角形的判定 ； 勾股定理 ； 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ． 專題： 開放型 ． 分析： （ 1）由 AB=CB， ∠ ABE=∠ CBP， BE=BP，可證： △ CPB≌△ AEB，故在圖中存在兩個全等的三角形； （ 2） △ CPB繞 B點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176。可得到 △ AEB，故這兩個三角形通過旋轉(zhuǎn)能夠 互相重合； （ 3）由 ∠ ABE=∠ CBP， ∠ CBP+∠ ABP=90176。，可得： ∠ ABP+∠ ABE=90176。，故 PB⊥ BE； （ 4）在 Rt△ PBE中， BE=BP，可得： ∠ BPE=45176。， PE= PB；又 ∠ APB=135176?？傻茫?∠ APE=90176。，故在 Rt△ APB中，運(yùn)用勾股定理可將 AE的長求出． 解答： 解：（ 1）存在， △ CPB≌△ AEB． 證明： ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=CB， ∵∠ ABE=∠ CBP， BE=BP， ∴△ CPB≌△ AEB； （ 2）能重合． △ CPB繞 B點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn) 90176?？傻玫?△ AEB； （ 3） PB⊥ BE． 理由如下：由（ 1）知： △ CPB≌△ AEB， ∴∠ ABE=∠ CBP， ∵ 四邊形 ACBD是正方 形， ∴∠ ABC=90176。即 ∠ CBP+∠ ABP=90176。， ∴∠ ABE+∠ ABP=90176。， ∴ PB⊥ BE； （ 4）連接 PE， ∵ PB=EB， ∴∠ BPE=∠ BEP， ∵∠ PBE=90176。， ∴∠ BPE=45176。， ∵∠ APB=135176。， ∴∠ APE=∠ APB∠ BPE=90176。， 在 Rt△ BPE中， ， 在 Rt△ APE中， ． 點(diǎn)評： 本題主要考查全等三角形的判定定理及勾股定理在解直角三角形中的應(yīng)用． 答題： ljj老師 ；審題： wangcen老師 ． ☆☆☆☆☆ 隱藏解析 體驗(yàn)訓(xùn)練 收藏 評論 下載 試題籃 143 如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn) E在對角線 BD上， （ 1） AE與 EC相等嗎？請說明判斷的理由； （ 2）若 BE=BC，求 ∠ DEC的度數(shù)． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì) ． 分析： （ 1）要證明 AE與 EC是否相等，可以把線段放在兩個三角形 △ ABE和 △ CBE中，再判斷這兩個三角形是否全等． （ 2）因?yàn)?∠ DBC=45176。，由已知條件可求出 ∠ BEC的度數(shù)，從而解出 ∠ DEC的度數(shù)． 解答： 解：（ 1） AE與 EC相等． 理由：因?yàn)樗倪呅?ABCD是正方形，所以 AB=BC， ∠ EBC=∠ EBA=45176。， 又因?yàn)?BE=BE，所以 △ ABE≌△ CBE，所以 AE=EC． （ 2）因?yàn)?∠ EBC=45176。， BE=BC， 所以 ∠ BEC=（ 180176。45176。） 247。2=176。，所以 ∠ DEC=176。． 點(diǎn)評： 解答本題要充分利用正方形的特殊性