【正文】 ②如圖（ ），當點 B、 C 在直線 l 的異側(cè)時，猜想 h h h3 滿足什么關(guān)系 .（只需寫出關(guān)系，不要求 說明理由） 【 答案 】 25.（ 1）證明：∵ BE⊥ l， GF⊥ l， ∴四邊形 BCFE 是梯形 . 又∵ GD⊥ l， D 是 BC 的中點， ∴ DG 是梯形的中位線， ∴ BE+CF=2DG. 又 O 為 AD 的中點，∴ AG=DG， ∴ BE+CF=2AG. 即 h2+h3= 2h1. （ 2）成立 . 證明：過點 D 作 DH⊥ l，垂足為 H， ∴∠ AGO=∠ DHO=Rt∠，∠ AOG=∠ DOH， OA=OD， ∴△ AGO≌ △ DHO， ∴ DH=AG. 又∵ D 為 BC 的中點，由梯形的中位線性質(zhì)， 得 2 DH=BE+CF，即 2 AG =BE+CF， ∴ h2+h3= 2h1 成立 . （ 3） h h h3 滿足關(guān)系： h2－ h3= 2h1. （說明：（ 3）問中，只要是正確的等價關(guān)系都得分） 28． （ 2022 江蘇徐州） 如圖，已知二次函數(shù) y= 42341 2 ??? xx 的圖象與 y軸交于點 A，與x軸交于 B、 C兩點，其對稱軸與 x軸交于點 D，連接 AC． (1)點 A的坐標為 _______ ，點 C的坐標為 _______ ； (2)線段 AC上 是否存在點 E，使得 △EDC 為等腰三角形 ?若存在，求出所有符合條件的點 E的坐標；若不存在，請說明理由； h2 h1 E F G O C A B D h3 l h3 h1 h2 E F l C A B D O (G) O h2 h1 h3 F E G l C A B D 圖（ ） 圖（ ） 圖（ ） 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 34 (3)點 P為 x軸上方的拋物線上 的一個 動 點， 連接 PA、 PC，若所得 △PAC 的面積為 S，則 S取何值時，相應(yīng)的點 P 有 且只有 2個 ? 【答案】 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 35 29． （ 2022 云南昆明） 在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過 O（ 0， 0）、 A（ 4， 0）、 B（ 3， 233? ）三點 . （ 1）求此拋物線的解析式； （ 2）以 OA 的中點 M 為圓心， OM 長為半徑作⊙ M，在（ 1）中的拋物線上是否存在這樣的點 P，過點 P 作⊙ M 的切線 l ，且 l 與 x 軸的夾角為 30176。，若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由 .（注意：本題中的結(jié)果可保留根號） 【答案】 解 ：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為： 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ? 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 36 由題意得：016 4 023933?? ???? ? ???? ? ? ? ???ca b ca b c 解得： 2 3 8 3, , 099a b c? ? ? ? ∴拋物線的解析式為： 22 3 8 399y x x?? （ 2）存在 拋物線 22 3 8 399y x x??的頂點坐標是 83(2, )9? ，作拋物線和⊙ M（ 如圖 ） ， 設(shè)滿足條件的切線 l 與 x 軸交于點 B，與 ⊙ M相切于點 C 連接 MC，過 C作 CD⊥ x 軸于 D ∵ MC = OM = 2, ∠ CBM = 30176。, CM⊥ BC ∴∠ BCM = 90176。 ， ∠ BMC = 60176。 ， BM = 2CM = 4 , ∴ B (2, 0) 在 Rt△ CDM中， ∠ DCM = ∠ CDM ∠ CMD = 30176。 ∴ DM = 1, CD = 22CM DM? = 3 ∴ C (1, 3 ) 設(shè) 切 線 l 的解析式為 : ( 0)y kx b k= + ? ，點 B、 C在 l 上，可得： 320kbkb? ????? ? ??? 解得： 3 2 3,33kb?? ∴切線 BC的解析式為： 3 2 333yx?? ∵點 P為拋物線與切線的交點 由22 3 8 3993 2 333y x xyx? ?????? ???? 解得：111232xy? ?????? ??? 226833xy???? ??? ∴點 P的坐標為：1 13( , )22P ?， 2 83(6, )3P l′ 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 37 ∵ 拋物線 22 3 8 399y x x??的對稱軸是直線 2?x 此拋物線、 ⊙ M都與 直線 2?x 成軸對稱圖形 于是作切線 l 關(guān)于 直線 2?x 的對稱直線 l′ (如圖 ) 得到 B、 C關(guān)于 直線 2?x 的對稱點 B C1 l′滿足題中要求，由對稱性，得到 P P2關(guān)于 直線 2?x 的對稱點 ： 3 93( , )22P ，4 83( 2, )3P ?即為所求的點 . ∴這樣的點 P 共有 4 個：1 13( , )22P ?，2 83(6, )3P，3 93( , )22P，4 83( 2, )3P ? 30． （ 2022 四川內(nèi)江） 如圖， 拋物線 y＝ mx2―2 mx―3 m(m＞ 0)與 x 軸交于 A、 B 兩點， 與y 軸交于 C 點 . （ 1） 請求 拋物線 頂點 M 的坐標（用含 m 的代數(shù)式 表示）， A， B 兩點 的坐標 ； （ 2） 經(jīng)探究可知， △ BCM 與 △ ABC 的面積比不變， 試 求出這個比值； （ 3） 是否存在使 △ BCM 為直角三角形的 拋物線 ？若存在，請求出；如果不存在，請說明理由 .. 【答案】 解：（ 1） ∵ y＝ mx2― 2mx― 3m＝ m(x2― 2x― 3)＝ m(x－ 1)2― 4m, ∴ 拋物線 頂點 M 的坐標為（ 1， ― 4m） 2 分 ∵ 拋物線 y＝ mx2― 2mx― 3m(m＞ 0)與 x 軸交于 A、 B 兩點， ∴當 y＝ 0 時， mx2― 2mx― 3m＝ 0， ∵ m＞ 0， ∴ x2―2 x― 3＝ 0， 解得 x1＝－ 1， x,2＝ 3， ∴ A， B 兩點 的坐標為（－ 1,0）、（ 3,0） . 4 分 x M A B C y O 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 38 （ 2） 當 x＝ 0 時， y＝ ― 3m， ∴點 C 的坐標為 （ 0，－ 3m） , ∴ S△ ABC＝ 12|3－ (－ 1)||－ 3m|＝ 6|m|＝ 6m， 5 分 過點 M 作 MD⊥ x 軸于 D， 則 OD＝ 1， BD＝ OB－ OD＝ 2， MD＝ |－ 4m |＝ 4m. ∴ S△ BCM＝ S△ BDM ＋ S 梯形 OCMD－ S△ OBC ＝ 12BD178。 DM＋ 12(OC＋ DM)178。 OD－ 12OB178。 OC ＝ 12179。 2179。 4m＋ 12(3m＋ 4m)179。 1－ 12179。 3179。 3m＝ 3m， 7 分 ∴ S△ BCM： S△ ABC＝ 1∶ 2. 8 分 （ 3） 存在使△ BCM 為直角三角形的 拋物線 . 過點 C 作 CN⊥ DM 于點 N，則 △ CMN 為 Rt△， CN＝ OD＝ 1， DN＝ OC＝ 3m, ∴ MN＝ DM－ DN＝ m, ∴ CM2＝ CN2＋ MN2＝ 1＋ m2， 在 Rt△ OBC 中， BC2＝ OB2＋ OC2＝ 9＋ 9m2， 在 Rt△ BDM 中， BM2＝ BD2＋ DM2＝ 4＋ 16m2. ① 如果 △ BCM 是 Rt△ ，且∠ BMC＝ 90176。時， CM2＋ BM2＝ BC2, 即 1＋ m2＋ 4＋ 16m2＝ 9＋ 9m2， 解得 m＝177。 22 , ∵ m＞ 0，∴ m＝ 22 . ∴存在 拋物線 y＝ 22 x2－ 2x－ 3 22 使得 △ BCM 是 Rt△ 。 10 分 ② ① 如果 △ BCM 是 Rt△ ，且∠ BCM＝ 90176。時， BC2＋ CM2＝ BM2. 即 9＋ 9m2＋ 1＋ m2＝ 4＋ 16m2， x M A B C y O D N 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 39 解得 m＝177。 1, ∵ m＞ 0，∴ m＝ 1. ∴存在 拋物線 y＝ x2－ 2x－ 3 使得 △ BCM 是 Rt△ 。 ③如果 △ BCM 是 Rt△ ，且∠ CBM＝ 90176。時， BC2＋ BM2＝ CM2. 即 9＋ 9m2＋ 4＋ 16m2＝ 1＋ m2， 整理得 m2＝－ 12，此方程無解 , ∴以∠ CBM 為直角的直角三角形不存在 . （或∵ 9＋ 9m2＞ 1＋ m2， 4＋ 16m2＞ 1＋ m2，∴以∠ CBM 為直角的直角三角形不存在 .） 綜上的 所述，存在 拋物線 y＝ 22 x2－ 2x－ 3 22 和 y＝ x2－ 2x－ 3 使得 △ BCM 是 Rt△ . 31． （ 2022 福建三明） 已知拋物線 )0(2 ???? acbxaxy 經(jīng)過點 B（ 2， 0）和點 C（ 0，8），且它的對稱軸是直線 2??x 。 （ 1）求拋物線與 x 軸的另一交點 A 坐標；（ 2 分） （ 2）求此拋物線的解析式；（ 3 分） （ 3）連結(jié) AC、 BC，若點 E 是線段 AB 上的一個動點（與點 A、點 B）不重合，過點 E作 EF∥ AC 交 BC 于點 F，連結(jié) CE，設(shè) AE 的長為 m，△ CEF 的面積為 S，求 S與 m 之間的函數(shù)關(guān)系式； （ 4）在（ 3）的基礎(chǔ)上試說明 S 是否存在最大值，若 存在，請求出 S 的最大值，并求出此時點 E 的 坐標，判斷此時△ BCE 的形狀；若不存在，請 說明理由。 【答案】 （ 1）∵拋物線 Cbxaxy ??? 2 的對稱軸是直線 2??x ∴由對稱性可得 A 點的坐標為（ 6， 0） ???? 2 分 2022 年中考數(shù)學真題分類匯編專題 49 40 （ 2）∵點 C（ 0， 8）在拋物線 Cbxaxy ??? 2 的圖象上 8??C 將 A（ 6， 0）、 B（ 2， 0）代入表達式得 ??? ??? ??? 8240 86360 ba ba解得???????????3832ba ∴所求解析式為 83832 ?