【正文】 ＝ 100)69156814671366126511 15141312111( ?????????? ????? ＝ 10069156814671366126511 1514131211100 ?????????? ????? 現(xiàn)在我們來(lái)看 a 的第二項(xiàng)的分母，一方面 1165+1266+1367+1468+1569＜ 1169+1269+13 69+1469+1569 另一方面 1165+1266+1367+1468+1569 ＞ 1165+1265+1365 ＋1465+1565 由于一個(gè)正的分?jǐn)?shù)，分母變小分?jǐn)?shù)變大，分母變大分?jǐn)?shù)變小。所以 10069156814671366126511 1514131211 ?????????? ????＜ 北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 19 頁(yè) 10065)1514131211( 1514131211 ?????? ???? 即 10069156814671366126511 1514131211 ?????????? ????＜ 6510 同樣分析可得， 10069156814671366126511 1514131211 ?????????? ????＞ 6910 也就是 6910 ＜ 10069156814671366126511 1514131211 ?????????? ????＜ 6510 100＋ 6910 ＜ 100＋ 69156814671366126511 1514131211 ????????? ???? 100＜ 100＋ 6510 100＋ 6910 ＜ a＜ 100＋ 6510 100＋ 69311 ＜ a＜ 100＋ 6535 所以 a 的整數(shù)部分是 101。 答： a 的整數(shù)部分是 101。 [分析與討論 ]這是一道估值問題。估值問題不論在純數(shù)學(xué)上還是在應(yīng)用數(shù)學(xué)上都很重要。 估值問題在小學(xué)生中很少受到訓(xùn)練。但同學(xué)們?cè)谌粘Ｉ钪校?jīng)常會(huì)遇到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當(dāng)然直接計(jì)算的方法是不可取的。在小學(xué)生中，適當(dāng)增加一點(diǎn)這方面的訓(xùn)練，是有好處的。 圖 60 算式中，所有分母都是四位數(shù)。請(qǐng)?jiān)诿總€(gè)方格中各填入一個(gè)數(shù)字，使等式成立。 圖 60 [解法］ 本題中，三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是四位數(shù)、不能立刻看出結(jié)果，因此有必要將問題先簡(jiǎn)化一下。 我們知道，如果將三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，等式照樣成立。這就啟發(fā)我們一種化簡(jiǎn)的方法，使分母盡量變得簡(jiǎn)單。 自然的想法是將 1988 這個(gè)數(shù)做質(zhì)因數(shù)分解。通過(guò)試除 知道 1988的質(zhì)因數(shù)分解為： 1988＝ 22771。 這樣，根據(jù)上面的分析，可以先用 1988 的約數(shù)來(lái)代替 1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，檢查一個(gè)是否都是四位數(shù)就行了 例如： 1988 的質(zhì)因數(shù)分解中有的數(shù) 4， 很容易看出： 3141121 ?? 由于 1988＝ 22771=4497，所以，將上面等式的兩邊均乘 上4971 ，就得 4973 14974 149712 1 ????? ，即 北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 20 頁(yè) 149111998159641 ?? 這樣就給出了一組適合條件的解。 再如， 1988＝ 22771 =（ 27） （ 271） ＝ 14142 而且有 101141351 ?? ，兩邊同乘以 1421 ，就得 14210 1142142 114235 1 ????? 即 142022988149701 ?? 這就給出了另一組解。 [分析和討論 ]我們?cè)诮忸}中只給出了二組不同的解，而且在找解時(shí)多少帶有一點(diǎn)試探的意味。這是因?yàn)橐抻谛W(xué)教村的內(nèi)容，而且也為了使同學(xué)們對(duì)如何簡(jiǎn)化問題的技巧有一點(diǎn)體會(huì)。 這道題有多少組不同的解呢？是不是還有更一般的方法？下面就來(lái)討論。因?yàn)?，要涉及到較深一點(diǎn)的知識(shí)，同學(xué)們?nèi)绻F(xiàn)在看不懂，可以留到以后再看。 為敘述方便，個(gè)妨將問題重寫出來(lái)設(shè) X， Y 為兩個(gè)四位數(shù)，并適合 YX 1198811 ?? （ 1） 問： X， Y 各為多少？ 解：從（ 1）式可以看出， 19881 ＜ Y1 ，也就是說(shuō) Y＜ 1988。令U＝ 1988－ Y 根據(jù)題意， Y 是四位數(shù)，即 Y＞ 1000，由此可知： 0＜ U＜ 988 （ 2） 和 U 代換（ 1）式中的 Y，我們有 UX ??? 19 88119 8811 （ 3） 因此 1988)1988( 1198811988 11 UUX ????? （ 4） 亦即 XU=（ 1988U） 1988=19882988U（ 5） 從（ 5）式可以得到 19882=XU＋ 1988U=（ X＋ 1988） U （ 6） 也就是說(shuō)， UX 219881988 ?? （ 7） 其中， S 為 4 位數(shù)， U 是適合條件（ 2）的整數(shù)。 由于（ 7）式左方是整數(shù)，因此 U 必須是 19882 的因子。 更進(jìn)一步，按題設(shè) X 是四位數(shù)，亦即 X≤9999。所以從（ 7）式可知 U21988 ＝ X＋ 1988≤ 11987 （ 8） 北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 21 頁(yè) 即 U≥ 1198719882 ＞ （ 9） 再結(jié)合（ 2）式，我們有 330＜ U＜ 988 （ 10） 這樣，整個(gè)問題就化為求 19882 中適合條件（ 10）的因數(shù)有多少個(gè)？ 容易看出： 1988 有質(zhì)因素分解 1988=22 771 （ 11） 因此， 19882=24 72 712。其中有哪些因數(shù)適合條件（ 10）呢？經(jīng)過(guò)檢查可知有如下 4 個(gè)因素： 717， 7123， 72 23， 72 24 用這 4 個(gè)數(shù)分別代入 （ 7）式和 Y=1988U，就可以得到四組解如下：（ 1） X=5964， Y=1491； （Ⅱ） X＝ 4970， Y=1420； （Ⅲ） X=8094， Y=1596； （Ⅳ） X＝ 3053， Y＝ 1204。 最 后，我們要給出解的一般公式，以供參考。 設(shè) X， Y， Z 為三個(gè)自然數(shù)，適合 ZYX 111 ?? （ 12） 求 X， Y， Z 的一般形式 ［解］ 由（ 12）式可知： X1 ＜ Z1 ， Y1 ＜ Z1 （ 13） 因此， X＞ Z， Y＞ Z，由此不妨設(shè) X＝ Z+U， Y=Z+V（ 14） 其中 U＞ 0， V＞ 0. 將（ 14）式代入到（ 12）式中， 我們有 ))(( 21111 VZUZ VUZVZUZYX ?? ???????? ＝ Z1 （ 15） 即（ 2Z＋ U＋ V） Z=（ Z+U）（ Z+V） =Z2＋ ZU+ZV+UV （ 16） 化簡(jiǎn)后可得： Z2=UV （ 17） 設(shè) U 和 V 有最大公約數(shù)為 T，則 U=U1 T， V= （ 18） 其中 U1 和 V1 互質(zhì)。 將（ 16）式代入到（ 17）式中，可以得到 Z=Z1T （ 19） 而 Z1， U1， V1 適合方程 1121 VUZ ?? （ 20） 因?yàn)?U1 和 V1 互質(zhì)，即只有公因數(shù) 1，從（ 20）可知 U1 和 V1均為平方數(shù)，也就說(shuō)，一般解為 21 RU? ， 21 SV? ， SRZ ??1 （ 21） 將（ 21）式代入到（ 14）式中，我們有一般解： X=R（ R＋ S） T 北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 22 頁(yè) Y＝ S（ R＋ S） T （ 22） Z=RST 其中 R， S， T 均為自然數(shù)。 有興趣的同學(xué)不妨用一般公式試試求本題的解。 北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 23 頁(yè) 決賽第二試試題與解答 有 50 名學(xué)生參加聯(lián)歡會(huì)。第一個(gè)到會(huì)的女生同全部男生握過(guò)手，第二 個(gè)到會(huì)的女生只差 1 個(gè)男生沒握過(guò)手，三個(gè)到會(huì)的女生只差 2個(gè)男生沒握手，如此等等，最后一個(gè)到會(huì)的女生同 7 個(gè)男生握過(guò)手，問這 50 名同學(xué)中有多少男生？ [解法 ]從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會(huì)的男生和女生共有 50 名。因此，如果知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，那么這 50 名同學(xué)中有多少男生就可以知道了。 為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過(guò)來(lái)，從后往前看。也就是說(shuō)：最后一個(gè)到會(huì)的女生同 7 個(gè)男生握過(guò)手；倒數(shù)第二個(gè)到會(huì)的女生同 8 個(gè)男生握過(guò)手；倒數(shù)第三個(gè)到會(huì)的女生同9 個(gè)男生握過(guò)手；如此等等，第一個(gè)到會(huì)（即倒 數(shù)最后一個(gè)）的女生同全男生握過(guò)手，由此立刻可知，男生的人數(shù)比女生的人數(shù)多 6 個(gè)人，再通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可得到：男生的人數(shù)為 28 人。 答：這對(duì) 50 名同學(xué)中有 28 名男生。 [分析與討論 ]這道題實(shí)際上也就是大家常說(shuō)的年齡問題。 分子小于 6 而分母小于 60 的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？ ［解法 ]在解這道題時(shí)，首先要弄清 “不可約真分?jǐn)?shù) ”的意思。當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母互質(zhì)時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)稱為不可約分?jǐn)?shù)；當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子小于分母時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就稱為真分?jǐn)?shù)。 弄清了這些概念以后，剩下的問題就是用什么方法將符合題目條件的分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確地 找出來(lái)。也就是說(shuō)， “數(shù) ”的時(shí)候既不能重復(fù)又不能遺漏。 由于分子的取值范圍是從 1 到 5，明顯地小于分母的取值范圍，因此自然會(huì)想到對(duì)分子分別為 1， 2， 3， 4， 5 的情形逐一考慮。 當(dāng)分子為 1 時(shí)，分母可從 2 到 59，共有 58 個(gè)真分?jǐn)?shù)，它們當(dāng)然都是不可約分?jǐn)?shù)。 由于 2， 3， 5 都是質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)分子分別為 2， 3， 5 時(shí)，分母必須而且只須適合下列二個(gè)條件就可以了 . 1）分母大于分子且小于 60. 2）分母不是分子的倍數(shù)。 經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算（請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)算一算）。可以知道： 當(dāng)分子為 2 時(shí)，適合條件的分母有 29 個(gè) 當(dāng)分子為 3 時(shí)，適合條件的分母有 38 個(gè)、 當(dāng)分子為 5 時(shí)，適合條件的分母有 44 個(gè) 最后來(lái)看分子為 4 的情形。因?yàn)?4 不是質(zhì)數(shù)，所以不能照搬上面的算法。也就是說(shuō)，不能只將 4 的倍數(shù)去掉，應(yīng)該去掉偶數(shù)。這樣一來(lái)，分母就只有從 5 到 59 的奇數(shù)了，一共有 28 個(gè)。 總之，符合要求的分?jǐn)?shù)共有 58+29＋ 38＋ 44＋ 28＝ 197（個(gè)） 答：分子小于 6 而分母小于 60 的不可約真分?jǐn)?shù)共有 197 個(gè)。 [分析與討論 ]這道題并不難，但容易算錯(cuò)。有不少同學(xué)的方法是對(duì)的，但算不清楚。例如：有的同學(xué)忘了 “真分?jǐn)?shù) ”的條件，不管分子是幾，分母都從 1 算起。還有不少同學(xué)在討論分子為 4 的情形時(shí)，分母只去掉了 4 的倍數(shù)，而忘掉了 2 的倍數(shù)與 4 也不互質(zhì)。 另外，還有少數(shù)同學(xué)直接討論分母，當(dāng)然就亂成一團(tuán)了。 計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本功，同學(xué)們應(yīng)該從小就扎扎實(shí)實(shí)地打好基礎(chǔ)。千萬(wàn)不能 “眼高手低 ”。 己知五個(gè)數(shù)依次是 13， 12， 15， 25， 20 它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得四個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相乘得一個(gè)數(shù)。請(qǐng)問最后這個(gè)北京大學(xué)附屬小學(xué) sun 老師 第 24 頁(yè) 數(shù)從個(gè)位起向左數(shù)、可以連續(xù)地?cái)?shù)到幾個(gè) 0（參看圖 61）？ [解法 ] 對(duì)一般的幾個(gè)整數(shù)的乘積，如果要確定它后面有幾個(gè) 0. 可以用這樣的辦法：把每個(gè)乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把分解中 2 的重?cái)?shù)加起來(lái)， 5 的重?cái)?shù)也加起來(lái)，看哪一個(gè)小，哪一個(gè)就是乘積尾部 0 的個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?10＝ 25，所以乘積尾部有個(gè) 0，質(zhì)因數(shù) 2 和 5 的重?cái)?shù)就至