[高三數學]20xx年浙江省溫州市搖籃杯高一數學競賽試題20xx年4月11日-資料下載頁
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【正文】 22227 1 7 1 511 2 1 2 1b x x x x xa x x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? = 51 12xx? ??， 1 5 52 4 , 0 1 42x x xx? ? ? ? ??? 歡迎光臨 《 中 學 數 學 信息網》 《 中 學 數 學 信息網》 系列資料 版權所有 @《 中 學 數 學 信息網》 31 2ba?? ? ，得 ba 的取值范圍為 31,2??? ??? （ 2）設 2c kxy?，則 c k xy?? 2222( ) 77 ( )c x y x xy yc x xy y x y? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???恒成立，即，2222( ) 77 ( )x y x xy ykxyx xy y x ykxy? ? ? ? ?? ???? ? ? ?? ??? 2772x y x yky x y xx y x yky x y x? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???， 恒成立 令 x ty?，由于 1ytt??在 ? ?1,?? 是增函數，令 11( ) 7 2f t t ttt? ? ? ? ? ?，則 11( ) 7 2 9 4 5f t t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ? 又 1 1 57 2 11172tttttttt? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 5,1 25kk? ? ? ? ?，得 2cxy 的取值范圍為 ? ?1,25 20．（本題滿分 20 分） 設 ()fx是定義在實數 R 上的函數， ()gx 是定義在正整數 *N 上的函數，同時滿足下列條件： (0) (0) (0)f f f?? （ 1）任意 ,xy R? ，有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y?? ，當 0x? 時， ( ) 1fx? 且 ( 1) 5f ?? ； （ 2） (1) ( 0 ), ( 2 ) ( 2 )g f g f? ? ?； （ 3） ? ? ? ?? ?( 3 ) ( 1 )( 2 )( 2 ) ( )f n g nf g n f n g n???? ?， *nN? 試求：（ 1）證明：任意 ,xy R? ， xy? ，都有 ( ) ( ) 0f x f yxy? ??； （ 2）是否存在正整數 n ，使得 ()gn 是 25 的倍數，若存在，求出 所有自然數 n ；若不存在說明理由 . 解： （ 1）當 0xy??時， (0) 0f??， (0) 1f ? 若 (0) 0f ? ，則得 ( ) ( 0) ( ) ( 0) 0f x f x f x f? ? ? ?，不可能，舍去 (0) 1f?? 當 0x? 時， 1( ) 1()fx fx???，得， 0 ( ) 1fx?? ( ) 0,f x x R? ? ? 若 xy? ，則， 0xy?? ， ( ) 1f x y??， ( ) ( ) ( ) ( )f x f x y f y f y? ? ? ?， ( ) ( )( ) ( ) 0 , 0f x f yf x f y xy?? ? ? ?? 同理，若 xy? ， ( ) ( ) 0f x f yxy? ?? ?任意 ,xy R? ， xy? ，都有 ( ) ( ) 0f x f yxy? ?? （ 2） ( 1 ) ( 0) 1 , ( 2) ( 2) ( 1 ) ( 1 ) 5g f g f f f? ? ? ? ? ? ? ? 歡迎光臨 《 中 學 數 學 信息網》 《 中 學 數 學 信息網》 系列資料 版權所有 @《 中 學 數 學 信息網》 由（ 1）可得 ()fx為單調減函數 ? ? ? ?? ? ? ?( 3 ) ( 1 )( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( )( 2 ) ( )f n g nf g n f n g n n g nf n g n??? ? ? ? ? ? ?? ( 2) ( 3 ) ( 1 ) ( 2) ( )g n n g n n g n? ? ? ? ? ? ? 得 ( 2) ( 1 ) ( 2) ( ( 1 ) ( ) ) , 1g n g n n g n g n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( 1 ) ( ( 1 ) ( 2)) , 3g n g n n g n g n n? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( ( 2) ( 3 ) )g n g n n g n g n? ? ? ? ? ? ? ? … ( 3 ) ( 2) 3 ( ( 2) (1) )g g g g? ? ? 相乘得： ? ?!( ) ( 1 ) ( 2 ) (1 ) , 32ng n g n g g n? ? ? ? ? ? … ① 又由 ① 式得： ? ?!( ) ( 1 ) ( 2 ) (1 ) , 32ng n g n g g n? ? ? ? ? ? ?( 1 ) !( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) (1 )2ng n g n g g?? ? ? ? ? … ? ?3!( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) (1 )2g g g g? ? ?， ? ?2!( 2 ) (1 ) ( 2 ) (1 )2g g g g? ? ? 相加得： ? ?1( ) (1 ) ( 2 ) (1 ) ( 2 ! 3 ! .. . ! )2g n g g g n? ? ? ? ? ?， 2n? ( ) 2( 2 ! 3 ! ... ! ) 1 , 2g n n n? ? ? ? ? ? (1) 1, (2) 5gg??， (3) 17g ? ， (4) 65g ? ， (5) 305g ? ， (6) 1745g ? ， (7) 11825g ? ， (8) 92465g ? ，(9) 818225g ? ， 由于當 10n? 時， !n 能被 25 整除 綜上，存在正整數 n ，當 7n? 或 9,n n N??時， ()gn 是 25 的倍數
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