【正文】 21]2c o s1[1000020ax d xaxaxaxaxdaaxadxxaxaaaaaa????????????????????????????????????? ?? a xdxaaxx 0 222 s in2 ? 2220223]2c o s1[1??aadxxaxa a?????????? ? 解： x dxaxixaaP ax ?? s i n)(s i n20 ???? ? ? x dxaxaaai a ??? c oss in2 0??? ? dxxaai a??? 0 2sin ?? 0? x dxaxxaaP ax ?? s i n)(s i n2 22202 ???? ? ? 2220322022222c o s1s in2adxxaadxxaaaa??????????????? ????? 解：（ 1）是，本征值（ 1） （ 2）是 ，本征值（ 1） （ 3）不是。 證： 由 nnn uauA ?? 兩邊用 B? 作用 nnn uBauAB ??? ? 因為 A? ， B? 對易 nnn uBauBA ??? ? 可見 nuB? 也是 A? 的屬于 na 的本征函數(shù)，但由于 na 并不簡并，所以 nuB? 與 nu 屬于同一量子態(tài)，只能差一常數(shù) nn cuuB ?? 即 nu 也是 B? 的本征函數(shù)。 證明： 設(shè) zL? 的本征態(tài)為 u ，則 uuLz ??? 由于 )????(1? yzzyx LLLLiL ?? ? ? ?? udxLuL xx ? ? ?? ?? ?????????????dxuLuLudxLuidxuLLuudxLLuiudxLLLLiuyzyyzzyyzzy]???[1]????[1)????(1???? 0]??[1??? ? ? ??? dxuLuudxLui yy ??? 最后一步用到 ???? 。 解： 2?l 則 222 6)1( ?? ??? llL ， ?6?L 2,1,0 ???m ， ?? 2,0 ???? zL 角動量與 z 軸夾角設(shè)為 ? ， LLz??cos , 得 ?90?? 、 ?66 、 ?14 、 ?35 、 ?145 。 解： 按歸一化 10312151 32322 ????? cc ?hnEn )21( ??? ?? hhEEEE 51227103252121511032151 320 ??????? ????????? 解： ? ? ?????? ?????????????? xaxaax ??? 2c os1s i n2 ???????????????????? ????????????????????xaaxaaxaxaxaa?????3s i n221s i n2212c o ss i ns i n2 即 ??x? 是第一和第三個能量本征態(tài)的疊加，所以測得能量本征態(tài)可為 2222a??? ，概率為 21212 ? 22229 a??? ，概率為 21212 ? 則 222222 259211212 aaE ???? ?? ??????? ???? 解： 由于 11031021011022222 ???? 所以能量為 1E 的概率為 1041022 ? 所以能量為 2E 的概率為 106103102101222 ??? ? ? evEEE 21 ???????? ????????? 解： ),()( ??? lmnlnlm YrR? ),()(?? 22 ??? lmnln lm YrRLL ? ),(?)( 2 ??lmnl YLrR? nl mlmnlll YrRll ? ??22)1( ),()()1( ???? ?? 即 nlm? 是 2?L 的本征函數(shù)。 解： 基態(tài) 1?n ， 0?l ， 0?m 則波函數(shù)為 areaYR ???? 230010100 241?? 徑向概率密度為 arnl earRr 2322102 4 ???? 對上式求導(dǎo)使其為 0 0)]2(2[4 2223 ??? ?? aerrea arar arar ???? 01 即在距核玻爾半徑處發(fā)現(xiàn)電子的概率最大。 解： drrr nl???? 0 ? ?aadreradrearraarar23!344442323032320???????????? 解： 概率應(yīng)為 dreardr aranla 23200 4 ??? ?? drera ara 22034 ??? 14)2()2(222])[(22222)(224)2(42220222022220222202332203??????????????????????????????????????????????????????eeardeaaeedreaeaaedrreaerdeaeaaedaraaraaraaraaraara 解： 由習(xí)題 得 ? ? ? ? 2222222222 212223 ?? aaaaaxxx ????????????????? ????? 由習(xí)題 得 ? ? 2 2222 aPP xx ????? 所以 ? ? ? ? 222222 ??? ?????????? ????? ?xPx 解： 在 H 原子中，設(shè) rx?? ， rPP xx 2???? rerrePE20222024 184 12 ?????? ???? ? 上式對 r 求導(dǎo)，使之為零，得 ? ? 014128 20232 ??? rer ???? 得 202er ????? ，代入 202248 ???? eE ?? 與精確解 2022432 ???? e? 同數(shù)量級。 證明： A? 與 H? 互易，有共同本征函數(shù) ??xun ， ? ?yx,? 可用 ??xun 展開 ? ? ? ? ? ??? n nn xutctx,? ? ? ? ? ? ?dxtxxutc nn ,???? ? ? ? ? ? ?dxtxtxudt tdc nn ,???? ?? 由薛定諤方程， ? ? ? ? ? ? ? ?txHit txt txitxH ,?1,? ???? ?? ??????? 所以 ? ? ? ? ? ?dxtxHixudt tdc nn ,?1 ????? ? ?? ? ? ?dxtxxuHi n ,?1 ???? ? ? ? ? ?? ?tciEdxtxxuiEnnnn???? ? ? ,? ? ?? ? dtiEtc tdc nnn ??? 兩邊積分得 ?? ? ? tEinn nectc ??? 0 所以 ? ? ? ? 22 0nn ctc ? 即測量 A 的概率分布不隨時間變化。 第十四章 解： ①有 ? ? ? ?2111 qq ?? ， ? ? ? ?2211 qq ?? ? ? ? ?1221 qq ?? ， ? ? ? ?2212 qq ?? 共四種，本征值 12E ， 22E ， 21 EE? ②有 ? ? ? ?2111 qq ?? ， ? ? ? ?2212 qq ?? ? ? ? ? ? ? ? ?12212211 qqqq ????? 共三種，本征值 12E ， 21 EE? ， 22E ③ ? ? ? ? ? ? ? ?12212211 qqqq ????? 共一種，本征值 21 EE? 解 ： 電子組態(tài)是 422 221 PSS 電子的四個量子數(shù)分別是 22222211n 11110000l 11000000??m ）（或）（或21212121212121212121 ?????sm 解： l＝ 1，則 1 0 ?? ，m ?? cos4310 ?Y ??? ieY ?? ? sin8311 ? ??????? 4 3s i n8 3s i n8 3c os4 3 222211211210 ?????? ?? YYY 解： 無限深勢阱 ???????? xaa ?sin2)0(1 ， 222)0(1 2 aE ?? ?? ???????? xaa ?2sin2)0(2 ， 2 22)0(2 2 aE ?? ?? ???????????axxaxxaH,0 00 v? 0 所以，基態(tài)能量的一級修正 ? ?? ? ? ? 2s i n2dx? 0020 0010 *0111 vxavdxxaaxavHH aa ?????????????? ?? ? 同理第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正為 22s i n2 020 022 vdxxaaxavH a ????????? ? ? 所以，基態(tài)能量為 22 0222 va ??? ? 第一激發(fā)態(tài)能量為 22 022 va ??? ? 解： 設(shè)基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)能級分別為 1E 和 2E ，原子數(shù)分別為 1N 和2N 。 evE ?? ， evE ?? )(12 12 ???? ???? eeeNN TEE