微積分入門及兩個熱身問題-資料下載頁
2025-01-09 08:38本頁面
【正文】 積之和 S ，正好介于兩個階梯形的面積之間： 2211001 1 1nniiiiT S Un n n n?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 我們在上述不等式的兩邊取 n?? 的極限： 2211001 1 1l im l im l im l imnnn n n niiiiT S Un n n n??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 我們已經求出左邊的極限為 13 ，容易求出右邊的和式在 n?? 的極限也是 13 ，所以有 1133S?? 從而有 13S? 。 這個從兩邊夾過來的方法，將在微積分中經常運用，我們給它一個好聽的名字：夾逼原理（兩面夾原理）?，F(xiàn)在大家可以相信我們求出的結果了吧！ 回顧一下，積分的思想其實與微分的思想有類似之處，核心還是 處理近似與精確針對矛盾的辯證法思想。 這里我還想與大家談一下求和公式 211 ( 1)( 2 1)6nk k n n n? ? ? ?? 的來歷，沒有這個公式，前面的極限還是求不出的。 這表面用數(shù)學解決實際問題，除了正確的思想與方法外，必要的武器 （手榴彈，步槍，機關槍，大炮，導彈，多多益善）也是要緊的。 有同學說，這個恒等式我們在中學里用數(shù)學歸納法證明過。對，用數(shù)學歸納法證明是沒有錯的，但數(shù)學歸納法有個“大大”的缺點，那就是必須知道要證明的結論，才能去證。如果 不知道結論，去證什么??？還有，如果公式忘了，怎么辦？所以，最好的辦法是能演繹推導！下面我們來做這樣的工作。 由恒等式 22( 1) 2 1k k k? ? ? ?， ,2, ,kn? ，取遍 1,2, ,kn? ，并把它們 加起來： ? ?221 1 1 1( 1 ) 2 1 2n n n nk k k kk k k k n? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 左邊是 2n ，所以， 211 ( 1 )1 2 ( )22nknnk n n n??? ? ? ? ? ? ?? 這個是最簡單等差數(shù)列求和公式，當年年幼的高斯在這個題目上大放異彩，這個故事大家都是知 6 道的，當然高斯不是這么做的 。我們用這樣的辦法則是為了推導更一般的求和式。 再由恒等式 3 3 2( 1 ) 3 3 1k k k k? ? ? ? ?得 ? ?3 3 21 1 1( 1 ) 3 3n n nk k kk k k k n? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 左邊的和式顯然等于 3n ，所以把1( 1)2nknnk???? 代入右邊，有 2 3 211 1 1 1 ( 1 ) ( 2 1 )3 2 6 6nk k n n n n n n? ? ? ? ? ? ?? 怎么樣？不很困難吧？ 作為練習，推一下 3411??nnkk??????
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