微積分入門及兩個熱身問題(編輯修改稿)
2025-02-05 08:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 圓 的切線問題反而比求拋物線的切線更困難！這里的困難在于計算極限值。如何計算極限，是微積分的一個重要內(nèi)容。 還是回到式子（ +）。大家一定要熟悉這樣形式的極限，因為它與微積分課程的一個極其重要的概念 —— 導數(shù)，發(fā)生著關(guān)系。而導數(shù)的概念，我們將在第 2次課上與它親密接觸！也就是說，我們已經(jīng)不知不覺走進了微積分的第一部分內(nèi)容 —— 微分學！ 回想一下剛才求切線斜率的過程，體會其中的思想精華。用割線代替切線，是一種“倒退”行為，是明顯的近似，但這樣的“倒退”看似無奈，卻是以退求進。“退”是因為我們一下子求不出切線的斜率，但我們 可以運用極限這個工具，來逼近切線的斜率，實質(zhì)上，是用了“近似”這個“橋梁”到達了精確的彼岸。你看，在近似和精確這一對矛盾之間，看到了辯證法的威力了吧！這種辯證思想，在下一個積分問題的處理上，更是達到了頂峰。 你能找些你熟悉的函數(shù)，來試著計算（ +）嗎？體會體會看！ 科學就是這樣試出來的，牛頓們當初是這樣開辟新天地的！你動手吧！ 問題 2 曲邊四邊形的面積問題 我們在中學里學會了求一些比較規(guī)則的幾何圖形的面積，比如正方形，長方形，三角形和圓，在此基礎(chǔ)上，稍復雜些的平行四邊形，菱形乃至多邊形等也會計算器面積?，F(xiàn) 在考慮下面一個曲邊梯形的面積問題。所謂曲邊梯形是如圖所示的圖形 ，即由直線 ,x a x b??，x 軸和曲線 ()y f x? 所圍成的圖形。怎么計算它的面積大小呢？ 首先得承認，這樣的圖形的面積肯定是客觀存在著的，它總有占有平面上的一定大小。問題是如何把它計算出來！初等數(shù)學是沒有辦法的。那么，高等數(shù)學是按什么思想來計算？ 也是先做我們能夠計算的近似值作為橋梁，再運用極限為工具，達到精確的面積 值！ 我們 之所以不能直接計算上述這個 曲 邊梯形的面積 S ，困難在于有最上面的曲線 ()y f x? 。繞開它，想辦法用我們能計算的近似值來近似！下面來一步一步來分解這個過程。 近似的第一步是“構(gòu)造”有限個小的矩形。因為有限個矩形的面積我們可以求出來。為此，將區(qū)間 [, ]ab 中任意插入 1n? 個點： 1 2 3 1nx x x x ?? ? ? ?，并記 0, na x b x??。 第二步， 在 各 小區(qū)間 1[ , ]iixx? 上 ( 1,2, , )in? ，記1i i ix x x?? ? ? ， 并取 i?? 1[ , ]iixx? ， 以 ()if? ， 作為小 a bxy()y f x? xy()y f x?1x0x 2x3xnx 4 矩形的高，這個小矩形的面積為 ()iifx? ? ， 那么 這 n 個小矩形面積 之和就是 10 ()nn i iiS f x?????? 第三步，也是最重要的一步，我們?nèi)^(qū)間 [, ]ab 上的點越來越多，乃至于 n?? ，那么直觀上 nS的值將會逼近所要求的曲邊梯形的面積，也就是 10lim lim ( )nn i inn iS f x S??? ? ? ? ?? ? ??
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