第3章條件極值問題的變分法(16k)-資料下載頁
2025-01-09 07:45本頁面
【正文】 通解中有 n 個積分常數(shù) nccc , 21 ? 和 k 個拉格朗日乘子k??? , 21 ? ，這 kn?2 個常數(shù)由約束方程 （ 340）式及邊界條件 ),2,1()()( 21 njyxyyxy jjjj ???? （ 356） 來確定。 【例 31】 在周長已知的情況下，求所圍面積為最大的曲線。 本題的約束條件為周長 L 為已知，即 syxssyssL dd)dd()dd( S0 22S0 22 ?? ?????? （ 357） 現(xiàn)在要求在滿足 （ 357）條件下，求泛函（即所圍面積） ??? ????? S0S d)(21dd sxyyxyxP （ 358） 為極值，這里 )()( syysxx ?? ， 。該問題相當于求無條件 泛 函 LsyxxyyxR ??????????? ?? S0 2122 d])()(21[ （ 359） 的極值。 記 ?F 為 2122 )()(21 yxxyyxF ????????? 則有 ???????????????????????????????????2122*2122***)(21 ,)(2121,21yxyxyFyxxyxFxyFyxF （ 360） 如果 s 為弧長，則 122 ???? yx ，則 （ 360）式中的后兩式可以寫為 yyyFxyxF ???????????????? 21,21 ** （ 361） 代入歐拉方程 ， 可得 0,0 ???????????? yxxy （ 362） 積分一次，得 21 , cyxcxy ???????? （ 363） 消去 y，得 022 ?????? cxx （ 364） 它的解為 2c oss in csBsAx ????? （ 365） 將 （ 365） 式 代入 （ 363） 式的 第一式，可得 1s inc os csBsAy ????? （ 366） 根據(jù)封閉圍線條件， )0()()0()( yLyxLx ?? ， ，有 37 ???????????????0s in)1( c o s0)1( c o ss inLBLALBLA （ 367） （ 367）式中， A 、 B 不等于零的解的條件是上面方程系數(shù)行列式等于零，即 0s in1c os1c oss in????????LLLL （ 368） 0s in)1(c os 22 ????? LL 或 1cos ??L （ 369） 其解為 nL π2?? 或 ),2,1(π2 ???? nnL （ 370） 從 （ 367）第二式，得 01c o ss i nL i ms i n)1(c o sL i m22????????????????ALLALLBnLnL 于是 （ 365）、 （ 366）式可以寫成 ?????????12π2c o sπ2sinCLsnAyCLsnAx （ 371） 消去 s，得一族圓 22122 )()( ACyCx ???? （ 372） A 為圓的半徑， 且有 AL ??2 ，圓心坐標 為 ),( 12 CC ，故知最大面積應(yīng)該是一個圓。
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