【導(dǎo)讀】求極限題最常用的解題方向：；，對于00型和??型的題目直接用洛必達(dá)法則，對于。型，再使用洛比達(dá)法則；，包括1sinlim. 第二章《導(dǎo)數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性。知識，一方面有單獨出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點：。CxFdxxf)()(中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。CxFdxxf)()(中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運用各種積分方法以外還。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分。但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時也非常有效。

　　

【正文】 成立 ，則 稱向 量 b 可由向 量組naaa ???21, 線性表示。而使上述等式成立的 ik 就是非齊次方程組 bAx? 的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組 0?Ax 是否由非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 A 的列向量組是否線性向關(guān)”，非齊次方程組也由 對應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組 bAx? 是否有解對應(yīng)于向量 b 是否可由 A 的列向量線性表示”。當(dāng)非齊次線性方程組 bAx?與對應(yīng)齊次線性方程組 0?Ax 滿足 nArAr ?? )()( 時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若 naaa ???21, 線性無關(guān)，而baaa n, 21 ??? 線性相關(guān)，則向量 b 可由向量組 naaa ???21, 線性表示，且表示方法唯一”。 以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應(yīng)對考試題。線代部分的學(xué)習(xí)并不容易“保持平庸”，一般不是學(xué)的很好、做起題來左右逢源、揮灑自如；就是收效欠佳、總感覺摸不準(zhǔn)題目的脈絡(luò)；其差距就在于對線性代數(shù) 這門課各章節(jié)知識的聯(lián)系是不是真正把握領(lǐng)悟了。 線代部分的題目難就難在考點的跨度大，出題老師可以借助各知識點之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。 我記得當(dāng)時上線代課時也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙，感覺這門課很難；但在考研備考時經(jīng)過這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。每們科目都有其自身的特點，出題老師和我們考生都可以加以利用—— 出題專家們利用線性代數(shù)“知識點間聯(lián)系復(fù)雜”的特點 可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識點之間的聯(lián)系來進(jìn)行歸納、對比和總結(jié)，從而深化對知識點的掌握程度。 以上所討論的各種聯(lián)系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質(zhì)，其涵蓋了大量的題眼，在實際做題時非常好用。其含金量之高不僅在線代中是獨一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識點中也很少見，希望你能重視： 三個雙重定義： 1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù) \無關(guān)的定義： a. 對于一組向量 naaa ???21, ， 若 存 在 不 全 為 零 的 數(shù) nkkk ???21, 使得02211 ??????? nnakakak 成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng) ik 全為 0 時才成立。 b. 向量組 naaa ???21, 線性相關(guān) ?向量組中至少存在一個向量可由其余 n1 個向量線性表出；線性無關(guān) ?向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。 2. 線性方程組的兩種形式： a. 矩陣形式： bAx? b. 向量 形式： baxaxax nn ??????? 2211 25 兩條性質(zhì)： nnA? 有：方陣 A 可逆 ?存在方陣 B 使得 EBAAB ?? ? 0|| ?A ?A 的行\(zhòng)列向量組均線性無關(guān) ? nAr ?)( ? bAx? 可由克萊 姆法則判斷有唯一解，而 0?Ax 僅有零解。 對于一般矩陣 nmA? 則有： nAr ?)( ?A 的列向量組線性無關(guān) ? 0?Ax 僅有零解，bAx? 有唯一解。 3. 齊次線性方程組 0?Ax 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 A 的列向量 組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 bAx? 是否有解對應(yīng)于 b 是否可以由 A 的列向量組線性表出。 以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁： 行列式 線性相關(guān) 線性方程組 秩 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大 跨度知識點時的必經(jīng)之路 —— “兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。 另外，線性代數(shù)部分在考試時會經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲： 1. 一 個 線性 無關(guān) 的 向量 組不 可能 由 一個 所含 向量 個 數(shù)比 它少 的 向量 組線 性表 示 。如 果向 量 組maaa ???21, 可由向量組 n??? ??21, 線 性 表 示 ， 則 有),(),( 2121 nm raaar ??? ??????? 。 等價的向量組具有相同的秩，但不 一定有相同個數(shù)的向量； 任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。 2. 常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；??????????00??????????0??????????100這樣的單位向量組；不同特征值對應(yīng)的特征向量。 3. 關(guān) 于 秩 的 一 些 結(jié) 論 ： },m in {)( nmAr nm ?? ；1)(1)( ????? nArAr ； )()()( AArArAr TT ?? ；)}(),(m in {)( BrArABr ? ； )()()( BrArBAr ??? ；若有 nmA? 、 snB? 滿足性質(zhì) 1中的“ |A|≠ 0?A的列向量組線性無關(guān)” 性質(zhì) 2 性質(zhì) 1 中的“ r(A)=n?A 的列向量組線性無關(guān)” 26 0?AB ，則 nBrAr ?? )()( ；若 A 是可逆矩陣則有 )()( BrABr ? ；同樣若 B 可逆則有)()( ArABr ? 。非齊次線性方程組 bAx? 有唯一解則對應(yīng)齊次方程組 0?Ax 僅有零解，若bAx? 有無窮多解則 0?Ax 有非零解；若 bAx? 有兩個不同的解則 0?Ax 有非零解；若 A 是nm? 矩陣而 mAr ?)( 則 bAx? 一定有解，而且當(dāng) nm? 時是唯一解，當(dāng) nm? 時是無窮多解，而若 nAr ?)( 則 bAx? 沒有解或有唯一解。 線代第五章《特征值和特征向量》 相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。 特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關(guān)題目要用到線代中的大 量內(nèi)容 —— 即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動全身”；著重考察這樣的知識點，在保證了考察面廣的同時又有較大的出題靈活性。 從我們的角度來看，《特征值特征向量》這一章的內(nèi)容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個“必考點”實際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點如曲線、曲面積分要容易的多，這一點也是前面說復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。本章知識要點如下： 1. 特征值和特征向量的定義及計算方法。就是記牢一系列公式如 xAx ?? )0( ?x 、0?? Axx? 、 0)( ?? xAE? 和 0|| ?? AE? 。在歷年真題中常用 到 下 列 性 質(zhì) ： 若 n 階矩陣 A 有 n 個特征值 1? ???2? n? ，則有nA ??? ???? 21|| ；若矩陣 A 有特征值 ? ，則 kA 、 2A 、 bEaA? 、)(Af 、 1?A 、 ?A 分別有特征值 ?k 、 2? 、 ba ?? 、 )(?f 、 ?1 、 ?||A ，且對應(yīng)特征向量等于 ? 所對應(yīng)的特征向量，而若 1? 、 2? 分別為矩陣 A 、 B 的特征值，則21 ??? 不一定為 BA? 的特征值。 2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為APPB 1??，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣 A 與矩陣 B 等價（ BA? ）的定義式是 BPAQ? ，其中 P 、 Q 為可逆矩陣，此時矩 27 陣 A 可通過初等變換化為矩陣 B ，并有 )()( BrAr ? ；當(dāng) BPAQ? 中的 P 、 Q互逆時就變成了矩陣相似（ BA? ）的定義式，即有 APPB 1?? ，此時 滿足)()( BrAr ? 、 |||| BA ? 、 |||| BEAE ??? ?? ，并且 A 、 B有相同的特征值。矩陣合同的定義是 BAPPT ? ，其中 P 為可逆矩陣。 由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 A 與 B 合同或相似則 A 與 B 必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。 3. 矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件 1 是 n 階矩陣 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量；充要條件 2 是 A 的任意 k 重特征根對應(yīng)有 k 個線性無關(guān)的特征向量；充分條件1 是 A 有 n 個互不相同的特征值；充分條件 2 是 A 為實對稱矩陣。 4. 實對稱矩陣極其相似對角化。 n 階實對稱矩陣 A 必可正交、相似于對角陣 ? ，即有正交陣 P 使得???? APPAPP T1 而且正交陣 P 由 A 對應(yīng)的幾個正交的特征向量組成。 其實本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪 kA 作為思路的起點，直接乘來求 kA 比較困難，但如果有矩陣 P 使得 A 滿足 ??? APP 1 （對角陣）的話就簡單多了，因為此時 1111 ???? ?????????? PPPPPPPPA kk ，而對角陣????????????cba的冪 k? 就等于??????????kkkcba代如上式即得 kA 。而矩陣相似對角化的定義式正是??? APP 1 。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相 似對角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且 ??? APP 1 中的P 、 ? 也分別是由 A 的特征向量和特征值決定的。 以上思路在本章的地位并不重要，因為與第三、四章知識點的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時這條思路一般不會被用到。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁 用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對于做題時打開思路用處不大。 28 線代第六章《二次型》 本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對于其它知識點僅要求了解。 在理年真題中本章知識點出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的核心知識為“對于實對稱矩陣 A 存在正交矩陣 P 使得 A 可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在 A 為實對稱矩陣時的應(yīng)用。 將本章與上一章中相似對角化部分的內(nèi)容作比較會有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。 3 概率部分 概率這門課的特點 與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。一般的數(shù)學(xué)考研參考書是按高數(shù)、 線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占 60%和 20 的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。 概率這門課如果有難點就應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導(dǎo)相互聯(lián)系來理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來記這些點的話，不但難 度大耗時多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。 記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來復(fù)習(xí)時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。 記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習(xí)題量，考 試時概率部分 20%的分值基本上就不難拿到了。 29 概率第一章《隨機(jī)事件和概率》 本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇常考關(guān)于事件概率運算的題目，大多圍繞形如 )()( BAPABP ? 、)|()|( ABPABP ? 、 )( CBAP ?? 這樣的式子利用各種概率運算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。 在“概率事件的 關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件 A 若與事件 B 有包含關(guān)系 AB? ，則可作圖 長方形內(nèi)的點都屬于 B 的范圍，圓形則代表 A 的范圍。這樣一來即易看出事件包含關(guān)系的定義“ A 發(fā)生