【正文】 大值，當(dāng)0)( 0 ??? xf 時 )( 0xf 為極小值。方法 是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 dxxxfdv )(2?? ,其中 )(xf 是薄桶的高， )(2 xxf? 是薄桶展開變成薄板后的底面積， dx就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。方法是取球體中的一個薄球形形體，其內(nèi)徑為 r 厚度為 dr ，對于這個薄球的體積 9 有 drrrdv 24?? ，其中 24r? 是薄球表面積， dr 是厚度。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨立的章節(jié)，在考試時會出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列 na 滿足,lim0 aanx ?? 0?a ，判斷級數(shù) nan )( 11? ? 的斂散性。 另外，“求 和與展開”的簡單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。 后 3 個式子的 ?u ),( ???? ，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級數(shù)展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用于展開、求和）。如圖 ，若要求進行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為 ；若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時 得到的展開式中只有余弦級數(shù)，圖像為 。數(shù)積定義式 為 ?c o s|||| ???? ? baba ，故有||||cos ?????baba? ，這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。 同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形 式和標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。本章主要內(nèi)容可以整理成一個大表格： 二元函數(shù)的定義（略） 相似 一元函數(shù)的定義（略） 二元函數(shù)的連續(xù)性及極限： 二元函數(shù)的極限要求點 ),( yx? 以任何方向、任何路徑趨向),( 00 yxP 時均有 Ayxf ?),( （ 0xx? 、0yy? ）。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識點，在后面的評題中會就題論題作更充分的論述。 2.掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會計算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。出現(xiàn)這種情 況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識點間聯(lián)系性強”的特點。 正是因為具有這樣的特點，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會變得特別容易”的科目，所以實際上把時間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因為，在一門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時間的效果肯定要比投 入等量時間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是 100 分、現(xiàn)在水平是 80 分的課提高到 85 分，一般要比把一門滿分 100 現(xiàn)在只能拿 40 分的課提高 10 分、 20 分還要難得多。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，因為這樣做首先能夠 保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。線性相關(guān)的定義為：設(shè) naaa ???21, 為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù) nkkk ???21, 使得等式 02211 ??????? nn akakak 成立，則稱向量組 naaa ???21, 線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng) 021 ??????? nkkk 時成立，則稱向量組 naaa ???21, 線性無關(guān)。當(dāng)nAr ?)( 時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有 nr 個線性無關(guān)的解向量。 以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應(yīng)對考試題。 2. 線性方程組的兩種形式： a. 矩陣形式： bAx? b. 向量 形式： baxaxax nn ??????? 2211 25 兩條性質(zhì)： nnA? 有：方陣 A 可逆 ?存在方陣 B 使得 EBAAB ?? ? 0|| ?A ?A 的行\(zhòng)列向量組均線性無關(guān) ? nAr ?)( ? bAx? 可由克萊 姆法則判斷有唯一解，而 0?Ax 僅有零解。 3. 關(guān) 于 秩 的 一 些 結(jié) 論 ： },m in {)( nmAr nm ?? ；1)(1)( ????? nArAr ； )()()( AArArAr TT ?? ；)}(),(m in {)( BrArABr ? ； )()()( BrArBAr ??? ；若有 nmA? 、 snB? 滿足性質(zhì) 1中的“ |A|≠ 0?A的列向量組線性無關(guān)” 性質(zhì) 2 性質(zhì) 1 中的“ r(A)=n?A 的列向量組線性無關(guān)” 26 0?AB ，則 nBrAr ?? )()( ；若 A 是可逆矩陣則有 )()( BrABr ? ；同樣若 B 可逆則有)()( ArABr ? 。 2. 相似矩陣及其性質(zhì)。 其實本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪 kA 作為思路的起點，直接乘來求 kA 比較困難，但如果有矩陣 P 使得 A 滿足 ??? APP 1 （對角陣）的話就簡單多了，因為此時 1111 ???? ?????????? PPPPPPPPA kk ，而對角陣????????????cba的冪 k? 就等于??????????kkkcba代如上式即得 kA 。 在理年真題中本章知識點出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。 記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來復(fù)習(xí)時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。 在“概率事件的 關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件 A 若與事件 B 有包含關(guān)系 AB? ，則可作圖 長方形內(nèi)的點都屬于 B 的范圍，圓形則代表 A 的范圍。 概率這門課如果有難點就應(yīng)該是“記憶量大”。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對于做題時打開思路用處不大。 4. 實對稱矩陣極其相似對角化。就是記牢一系列公式如 xAx ?? )0( ?x 、0?? Axx? 、 0)( ?? xAE? 和 0|| ?? AE? 。 等價的向量組具有相同的秩，但不 一定有相同個數(shù)的向量； 任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。其含金量之高不僅在線代中是獨一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識點中也很少見，希望你能重視： 三個雙重定義： 1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù) \無關(guān)的定義： a. 對于一組向量 naaa ???21, ， 若 存 在 不 全 為 零 的 數(shù) nkkk ???21, 使得02211 ??????? nnakakak 成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng) ik 全為 0 時才成立。當(dāng)非齊次線性方程組 bAx?與對應(yīng)齊次線性方程組 0?Ax 滿足 nArAr ?? )()( 時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組 naaa ???21, 組成的矩陣 A 有nAr ?)( 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 n 個向量，即 naaa ???21, 線性無關(guān)，也即等式02211 ??????? nn akakak 只有 0 解。 齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況： ； 。 所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評題中會有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣 1?A 、伴隨矩陣 ?A 、矩陣轉(zhuǎn)置 TA 的性質(zhì)以供區(qū)別記憶： 行列式性質(zhì) 特征值性質(zhì)（ ? 為矩陣A 的特征值） 運算性質(zhì) 秩的性質(zhì) 轉(zhuǎn)置矩陣 TA ?|| TA ||A AA TT ?)( TT kAkA ?)( TTT ABAB ?)( TTT ABBA ??? )( )()( ArAr T ? )()( AArAr TT ? )()( ArAAr T ? 逆矩陣 1?A || 1|| 1 AA ?? 有特征值 ?1 伴隨矩陣 ?A 1|||| ?? ? nAA 有特征值?||A ?A 、 TA 、 1?A 三者之間有一個即好記又好用的性質(zhì) TT AA )()( 11 ?? ? ???? ? )()( 11 AA TT AA )()( ?? ? ????????????1)(.01)(.1)(.)(nArnArnArnAr 數(shù)乘矩陣AkkA n?|| kA 有特征 )()()( BrArBAr ??? 22 kA 、矩陣之積 AB 及矩陣之和BA? |||||| BAAB ? 值 ?k ，bEaA?有特征值ba ?? )}(),(m in {)( BrArABr ? 0?AB 則有：nBrAr ?? )()( 若 A 是 可 逆 矩 陣 則 有)()( BrABr ? ；同樣，若 B 可逆則有 )()( ArABr ? 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨立， 可以看作是對第三、四章核心內(nèi)容的擴展。 再如一個貌似考察向量組線性無關(guān)的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣 A 可逆 ?|A|=0?A 的列向量組線性無關(guān) ?r(A)=n”，依靠這一性 質(zhì)建立起了線性無關(guān)和矩陣秩兩個知識點間的聯(lián)系。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。一元函數(shù)則無對應(yīng)的內(nèi)容。 多元復(fù)合函數(shù)微分法 復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 公 式 ： 設(shè) ),( wvufz ? 、),( yxju ? 、 ),( yxhv ? 、),( yxkw ? ，則有??????????????????????????? ????????????????????ywwzyzvzyuuzyz xwwzxvvzxuuzxz。在由空間曲線方程?????0),(0),(21zyxFzyxF 求投影方程時，需要先從方程組中消去 z 得到一個母線平行于 z 軸的柱面方程；；再與 0?z 聯(lián)立即可得投影方程?????00),(zzyxf 。點法式0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA （點 ),( 000 zyx 為平面 上已知 點，},{ CBA 為法矢 量）可變形為 0)( 000 ?????? CzByAxCzByAx ，符合一般式 0???? DCzByAx 的形式；截距式 1??? czbyax （ cba , 為平面在三個坐標(biāo)軸上的截距）可變形為 0???? ab cab zac ybc x ，也符合一般式的形式。同理可對線面、線線、面面關(guān)系進行判定。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時有以下兩種情況： 1. 題目給出的函數(shù)至少有一個完整的周期，如圖 則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個八九不離十了，比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù)，則應(yīng)該用公式 4，因為冪級數(shù)的變形變不掉階乘和 n)1(? ；若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而 且是交錯級數(shù)，則必從 3 兩式中選擇公式，其它情況也類似。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點看式子 2： 1 式左端是 u?11 ， 2 式左端是 u?11 ； 1 式右端是???0n nu ， 2 式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù) ??? ?0 )1(n nnu ,故可以通過這種比較來記憶式子 2；對于 3 式來說，公式左端的 )1ln( u? 與 2 式左端的 u?11 存在著關(guān)系“ uu ???? 1 1])1[ln( ”，故由 u?11 的展開式可以推導(dǎo)出 )1ln( u? 的展開式為 ??? ???0 11)1(n nun n 。 所以我們在復(fù)習(xí)過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點，更是要緊抓不放。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。 關(guān)于定積分的應(yīng)用，