20xx考研數(shù)學(xué)高分必看：各種題型經(jīng)典歸類(lèi)總結(jié)(第二部分)-資料下載頁(yè)
2025-05-30 18:02本頁(yè)面
【正文】 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 三、 各種常見(jiàn)的事件或事件組發(fā)生與否的數(shù)學(xué)描述1．、都發(fā)生。2．、同時(shí)發(fā)生3．發(fā)生不發(fā)生。4．、全不發(fā)生。5．、發(fā)生條件下，發(fā)生。四、精選例題【例1】口袋中有10張卡片，其中兩張是中獎(jiǎng)卡，三個(gè)人依次從口袋中摸出一張（模出的結(jié)果是未知的，且不放回），問(wèn)中獎(jiǎng)概率是否與摸卡的次序有關(guān)？解：設(shè)三個(gè)人摸卡事件分別為 。這是一個(gè)離散古典概型?？梢?jiàn)，中獎(jiǎng)概率是否與摸卡的次序無(wú)關(guān)，這正是抽簽原理的具體體現(xiàn)，以后再碰到類(lèi)似題直接使用抽簽原理計(jì)算就可以了。評(píng) 注 在第二個(gè)人抽簽時(shí)，要利用第一個(gè)人抽簽情況的一個(gè)劃分，即 在第三個(gè)人抽簽時(shí)，要利用第一個(gè)人和第二個(gè)人抽簽情況組合的一個(gè)劃分，即 【例2】設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件和不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率等于發(fā)生不發(fā)生的概率，求。解：依題意，有 【例3】對(duì)某一目標(biāo)一次進(jìn)行了三次獨(dú)立射擊，第1，2，3次射擊的命中率分別為：，試求三次中恰有一次命中的概率；三次中至少有一次命中的概率解：注意本題不是伯努利概型。設(shè)三次中恰有一次命中的事件 三次中至少有一次命中的事件 評(píng) 注 注意既不互斥又不對(duì)立，下列計(jì)算是錯(cuò)誤的【例4】設(shè)有件產(chǎn)品包含有件次品，從中任取2件，求 有一件是次品時(shí)，另一件也是次品的概率； 一件不是次品時(shí)，另一件是次品的概率；至少一件是次品的概率。解：這類(lèi)題型關(guān)鍵是掌握事件符號(hào)的設(shè)定。設(shè)：。 【例5】甲乙對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，,現(xiàn)已知目標(biāo)被擊中，求它是甲射中的概率？ 解：目標(biāo)被擊中的概率為，根據(jù)條件概率公式 【例6】設(shè)，求。解： 【例7】設(shè)有來(lái)自三個(gè)地區(qū)的各10名，15名，25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份，7份和5份，隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中抽出兩份。（1）求先抽到的一份是女生的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。解：設(shè)｛報(bào)名表是第個(gè)地區(qū)考生的｝=1，2，3｛第次抽到的一份是男生表｝=1，2（1）由全概率公式得（2）由全概率公式得 求，也可利用抽簽原理：由貝葉斯公式知（實(shí)際上就是條件概率）【例8】為防止意外，在礦內(nèi)同時(shí)設(shè)置甲乙兩種報(bào)警系統(tǒng)，每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，甲有效的，，求 發(fā)生意外時(shí)，這兩個(gè)報(bào)警系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率； 在乙失靈時(shí)，甲仍有效的概率。解： 設(shè) 至少有一個(gè)有效的概率為 。 ?！纠?】在區(qū)間中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)差的絕對(duì)值小于的概率。解：這是連續(xù)幾何概型。畫(huà)出兩數(shù)差的絕對(duì)值小于的二維圖形，使用面積比。 評(píng) 注 本題型也可使用均勻分布求：?！纠?0】在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)之積少于的概率。解：畫(huà)出兩數(shù)差的絕對(duì)值小于的二維圖形（雙曲線(xiàn)），使用面積比。 。【例11】如果每次試驗(yàn)的成功率都是，并且已知在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為，求。解：這是伯努利概型。 “至少成功一次”的對(duì)立事件就是“一次也不成功，即三次全失敗”。三次全失敗的概率。【例12】在重伯努利試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)成功的概率為，求成功次數(shù)為奇數(shù)的概率？ 解：設(shè)表示第次試驗(yàn)時(shí)事件發(fā)生，則表示第次試驗(yàn)時(shí)事件不發(fā)生；表示次試驗(yàn)中事件發(fā)生了奇數(shù)次，并設(shè)。發(fā)生奇數(shù)次有兩種情形。如果第試驗(yàn)發(fā)生了，則依題意，要求次試驗(yàn)中必發(fā)生了偶數(shù)次，也就是不可能發(fā)生；如果第試驗(yàn)不發(fā)生，則依題意，要求次試驗(yàn)中必發(fā)生了奇數(shù)次，也就是發(fā)生，故有： 三分三密與隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性智 軒 二元分布有聯(lián)合、邊緣和條件分布律形式共3種分布函數(shù)和3種密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)：3分3密。 ● 一般型： 任意的聯(lián)合分布函數(shù)滿(mǎn)足時(shí)，稱(chēng)相互獨(dú)立。 注意，可以證明，這個(gè)定義與前面的用事件的概率來(lái)定義事件之間的獨(dú)立性是完全等價(jià)的。 ★ 二維離散型： 相互獨(dú)立的充要條件是 ★ 二維連續(xù)型： 相互獨(dú)立的充要條件是 二維連續(xù)密度函數(shù)具有下列重要結(jié)論：如果在規(guī)則區(qū)域，如矩形區(qū)間等，具有分離變量形式，即，則一定相互獨(dú)立。 如中就一定獨(dú)立。 如，存在不規(guī)則區(qū)間，故不獨(dú)立。如果上述兩個(gè)條件規(guī)則區(qū)域或分離變量形式一個(gè)都不滿(mǎn)足，則一般不獨(dú)立。注意● 二維正態(tài)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件是 相關(guān)系數(shù)，即不相關(guān)。 如果，且相互獨(dú)立，則 ● 設(shè)隨機(jī)向量和及滿(mǎn)足 則稱(chēng)與相互獨(dú)立；此時(shí)， 與必相互獨(dú)立；并且，任意函數(shù)分布與也相互獨(dú)立，● 如隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量的函數(shù)與必相互獨(dú)立，但 與卻不一定獨(dú)立。● 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合分布函數(shù)為，則 ● 相互獨(dú)立，如的聯(lián)合密度函數(shù)為 ，則 形象記憶掌握法： 這個(gè)公式特別有規(guī)律，在形式上，只要從中解出代換 中的， 或者從中解出代換中的即可。具體求法如下： ● 4類(lèi)可加性分布（其余分布不可加） ★相互獨(dú)立，則 ★相互獨(dú)立， 則 但泊松分布不存在線(xiàn)性性，即不再是泊松分布。 ★獨(dú)立，則 如果不獨(dú)立，則 ★相互獨(dú)立，則 ● 模球模型的獨(dú)立性質(zhì) 在有若干個(gè)紅球和黑球的箱中逐次隨機(jī)取一球，令，則不管放回與否，和同分布；但放回抽樣時(shí)和獨(dú)立，不放回抽樣時(shí)和不獨(dú)立。 2009考研數(shù)學(xué)相關(guān)性系統(tǒng)理論與實(shí)例智 軒 一：相關(guān)性系統(tǒng)理論相關(guān)系數(shù) 描述的線(xiàn)性相關(guān)程度。● 相關(guān)系數(shù)本質(zhì)上是一種線(xiàn)性逼近。考慮以的線(xiàn)性函數(shù)來(lái)近似表示，這種表示程度的好壞由下式的最小值決定證明如下： ●，● 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)反應(yīng)了兩個(gè)隨機(jī)變量和的線(xiàn)性關(guān)系 1) 。2) 和獨(dú)立，說(shuō)明和什么關(guān)系都沒(méi)有，當(dāng)然也不會(huì)有線(xiàn)性關(guān)系，從而；和不相關(guān)，但只能說(shuō)明和沒(méi)有線(xiàn)性關(guān)系，但和可能有非線(xiàn)性關(guān)系，和當(dāng)然不一定獨(dú)立。也就是說(shuō)，獨(dú)立必不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨(dú)立。只有對(duì)正態(tài)分布和二值分布而言，獨(dú)立和不相關(guān)才是完全等價(jià)。3）的充要條件是使 ，表示和是完全的線(xiàn)性關(guān)系?！?不相關(guān)的等價(jià)命題（均為充要條件） 1) ； 2) ； 3) ； 4) 二：具體問(wèn)題舉例 解： 設(shè)總體的分布律為123其中：，為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。求的矩估計(jì)；的極大似然法估計(jì)，判斷的無(wú)偏性和一致性。解：根據(jù)點(diǎn)估計(jì)的定義：用對(duì)應(yīng)的樣本一階和二階原點(diǎn)矩（對(duì)正態(tài)總體使用二階中心矩）分別替換分布函數(shù)中的或。 注意此題一般需要給出樣本點(diǎn)來(lái)寫(xiě)出聯(lián)合分布函數(shù)。故本題的關(guān)鍵是根據(jù)分布率寫(xiě)出代數(shù)分布形式，可以驗(yàn)證：總體的分布律可以等價(jià)寫(xiě)成 故估計(jì)是無(wú)偏的。 根據(jù)大數(shù)定理，依概率收斂到，于是依概率收斂到，即為的一致估計(jì)量。【同步練習(xí)】 設(shè)是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中總體X的概率分布為X－1 0 2 其中，試求未知參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量。
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