【正文】 ta n bxa ?? ?? 222 )(t a n t a nd1abxxa)t a na rct a n (1 xbaba? C?說明 : 通常求含 xxxx c o ss inc o s,s in 22 及的積分時 ,(即 R(sinx,cosx)=R(sinx,cosx)) xt tan? 往往更方便 . (P168) 的有理式 用代換 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 11. 求 .)0(d)c o ssi n( 1 2 ??? baxxbxa解法 1 xt tan?令 原式 ?? d x2)ta n( bxa ? x2cos? ?? 2)( d bta t Cbtaa ???? )( 1Cxbxaa x ???? )c o ssi n( c o s機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xbxa c o ss in ?例 11. 求 )0(d)c o ssi n( 1 2 ??? baxxbxa解法 2 ?? c o s,s i n 2222 ???? ba bba a令 ????? 22 ba ??????xbabxbaa c o ssin2222?sin ?cos原式 ? ??? )(c o s d1 222 ?xxbaCxba ???? )t a n (1 22 ?Cbaxba ???? )a rc ta nta n (1 22機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 12. 求 .ds i ns i n1 c o s2c o s 423? ?? ? xxx xx解 : 因被積函數(shù)關(guān)于 cos x 為奇函數(shù) , 可令 ,sin xt ?原式 ? ??? xx 42 s i ns i n1 xxx dc o s)2( c o s 2 ? ? ?? ??? xxx 422si nsi n1 )1( si n? ?? ??? 4221d)1(tttt ??????3)()d(211ttttCt t ???? 3a rc t a n311Cxx ???s in3c o sa r c t a n31 2xsind機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 13. 求 .d2c o s3s in22? xxx解 : 但被積函數(shù)含有 sinAx cos Bx 時，用“ 積化和差 ” 首先變換 f (x): )4c os1)(6c os1(41)( xxxf ???)4c o s6c o s6c o s4c o s1(41 xxxx ????)10c o s2c o s6c o s24c o s22(81 xxxx ?????Cxxxx ?????? )10s i n36s i n104s i n152s i n1560(240 1原式2. 簡單無理函數(shù)的積分 ,d),(? ? xbaxxR n 令 n bxat ??,d),(? ?? xxR n dxc bxa 令 n dxc bxat ???被積函數(shù)為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分 . 例如 : 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,d),(? ?? xbaxbaxxR mn,p bxat ??令 ., 的最小公倍數(shù)為 nmp例 14. 求 .21 d3? ?? xx解 : 令 ,23 ?? xu 則 原式 ? ?? u1 23u ud uuu d1 1)1(32? ? ???uuu d)1 11(3 ???? ??3? 221u u? u?? 1ln ? C?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 15. 求 解 : 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 , 取根指數(shù) 2 , 3 的 最小公倍數(shù) 6 , ,6tx ? 則有 原式 ? ?? 23 tt tt d6 5tttt d)1 11(6 2? ??????6? 331t 221 t? t? t?? 1ln ? C?令 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 16. 求 .d11? ? xx xx解 : 令 ,1 x xt ?? 則 原式 ? ?? tt )1( 2 tt t d)1( 2 22 ???ttt d12 22? ??? t2?? 11ln ??? tt C?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 17. 求 (P173例 10) .d222? ??xxxx解 : 原式 = )1(112????? xtdtttucos1? Cuu ??? t a ns e clnCttt ?????? )1ln (1 22Cxxxxx ????????? )122l n (22 22內(nèi)容小結(jié) 1. 可積函數(shù)的特殊類型 有理函數(shù) 分解 多項(xiàng)式及部分分式之和 三角函數(shù)有理式 萬能代換 簡單無理函數(shù) 三角代換 根式代換 2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出 , 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計(jì)算 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 簡便 , 思考與練習(xí) 如何求下列積分更簡便 ? 解 : 1. ? ?? 23233)()(d31xax原式 Caxaa?????33333 ln61 Caxax ???33333 ln612. 原式 ? ?? xxx xx dc o ssin c o ssin 322?? xx xc o ssi n d ?? xxx dsi nc o s3?? xxta nta nd ?? xx3si nsi nd xta nln? Cx ?? 2s i n121機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題 1. 求不定積分 解： 令 ,1xt ? 則 , 故 ? 161t551 t?? t?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分母次數(shù)較高 , 宜使用 倒代換 . 解： 原式 = 2tan xu ?前式令 ?????221131uu uu d122??2a rc ta n21 u?。 后式配元 )2ta n21a rc ta n (21 x?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課 一、 求不定積分的基本方法 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、幾種特殊類型的積分 不定積分的計(jì)算方法 第五章 一、 求不定積分的基本方法 1. 直接積分法 通過簡單變形 , 利用基本積分公式和運(yùn)算法則 求不定積分的方法 . 2. 換元積分法 第一類換元法 第二類換元法 (注意常見的換元積分類型 ) (代換 : ) )(tx ??機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 分部積分法 ???? vuxvu d使用原則 : 1) 由 v? 易求出 v 。 2) 比 ? ? xvu d 好求 . 一般經(jīng)驗(yàn) : 按“ 反 , 對 , 冪 , 指 , 三 ” 的順序 , 排前者取為 u , 排后者取為 .v?計(jì)算格式 : 列表計(jì)算 ? ? xv d機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xvu n d)1(? ? ? ??? xvuvu nn d)()()1()( ???? nn vuvu ? ???? xvu n d)1(?????????? ?? )2()1()( nnn vuvuvu xvu nn d)1( )1(1 ? ????多次分部積分的 規(guī) 律 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2()1()( ?? ?????? nnn vuvuvu xvu n d)2( ?? ????快速計(jì)算表格 : )(ku)1( knv ??u u? u? ? )(nu)1( ?nv )(nv )1( ?nv ? v?? ? ? n)1(?)1( ?nuv??? 1)1( n特別 : 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時 , ,0)1( ??nu 計(jì)算大為簡便 . 例 1. 求 解 : 原式 xxxxxd233222? ??xxxd)(1)(23232? ??? ?? xx2323232 )(1)(dln1xaaa xx dlnd ?Cx??? 3ln2ln )a rc t a n ( 32機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : ? ???? 21]5)1l n ([ 2xx原式 ]5)1l n ([d 2 ??? xx 21 xx ???xxx d)1( 212 2 ??21d x???32? 5)1ln( 2 ??? xx ? C?23機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析 : ]5)1l n ([d ??? xx例 3. 求 解 : (習(xí)題課教程 P116) 原式 xxxxxd2c o s22c o s2si n22????? 2t a nd xx xx d2t a n??Cxx ?? 2t a n 分部積分 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有時可將原不定積分拆成兩個不定積分 ,將其中一個用分部積分法 ,可得與另一個不定積分形式完全相同 ,但符號相反的不定積分 ,從而“抵消” . 例 4. 設(shè) 解 : 令 ,tyx ??求積分 即 txy ??,123?? ttx ,12 ?? tty 而 ttttx d)1()3(d2222?????? ? 1原式 tttt d)1()3(2222??123?tt132 ?? ttCyx ???? 1)(ln 221機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 5. 求 解 : ??? xea rc t a n原式 xe?dxx ee a rc t a n??? ? ?? xe xeexxd1 2?xx ee a rc t a n??? xeeexxxd1)1(222? ? ???xx ee a rc t a n??? x? Ce x ??? )1(ln 221機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 取 23 ?? xx 13 2 ?x x6 6 0xe2 xe221 xe241 xe281 xe2161? ? ? ??xe 2?? 原式 )2( 321 ?? xx )13( 241 ?? x x681??Cxxxe x ????? )7264( 232816161 ?? ? C?xxaxaexPxkn dc o ssi n)(???????????機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明 : 此法特別適用于 如下類型的積分 : 例 7. 設(shè) 證 : 證明遞推公式 : )2(12t a nse c11 22 ??????? ?? nInnxxnI nnn?? ? ? xI nn 2se c?? ? xn 2se cxxxn n t a nse cse c)2( 3 ??? ? ?xxn t a ns e c 2 ?? ? xxxn n d)1(s e cs e c)2( 22 ???? ? ?xxn ta ns e c 2 ?? ? nIn )2( ?? 2)2( ??? nInxdsec 2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 8. 求 解 : 設(shè) 1)( ??? x