【正文】 ? )(d))(( xxf ?? (直接配元 ) ??? xxxf d)()]([ ??? ?? 2)(1)(daxax機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 求 解 : ? xxx dc o ssi n ??? xxc o sc o sd? x xxsi n dco s ?? xxsi nsi nd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類似 Cax axa ???? ln21例 5. 求 解 : 221ax ?? ))(( axax ??)()( axax ???a21? )11(21axaxa ????∴ 原式 = ???a21 ? ? ??? ax xax x dd ???????a21 ???axax )(d????a21? ax ?ln ax ?? ln ? C?? ??? ax ax )(d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 常用的幾種配元形式 : ( P155 ) ??? xbxaf d)()1( )(d bxa ?a1?? ? xxxf nn d)()2( 1nxdn1?? xxxf n d1)()3( nxdn1 nx1萬(wàn)能湊冪法 ?? xxxf dc o s)(sin)4( xsind?? xxxf ds i n)(c o s)5( xcosd?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?? xxxf dse c)(t a n)6( 2xtand?? xeef xx d)()7( xed?? xxxf d1)(l n)8( xlnd例 6. 求 ? ? xln21 xlnd解 : 原式 = ? ?? xln2121 )ln21(d x?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ??? xxxf d1 1)( a r c t a n)9( 2xa rc ta nd例 7. 求 .d3xxex?解 : 原式 = xe x d2 3? )3d(32 3 xe x??Ce x ?? 332例 8. 求 .dse c 6 xx?解 : 原式 = xdxx 222 se c)1(t a n ??? xtandxxx t a nd)1t a n2(t a n 24? ???x5ta n51? x3ta n32? xtan? C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 9. 求 .1 d? ? xex解法 1 xeeexxxd1)1(?????d?? ? ???xxee1)1(dx? Ce x ??? )1ln (解法 2 xeexxd1? ???? ? ??????xxee1)1(dCe x ???? ? )1ln()]1(ln [)1ln ( ????? ?? xxx eee 兩法結(jié)果一樣 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?????????xx si n11si n1121 ?例 10. 求 解法 1 ?? xxx dc o sc o s2 ? ?? xx2si n1 si ndxsind?? xsi n1ln21 ?? ? Cx ??? s i n1lnCxx ???? s i n1 s i n1ln21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? ?? xx t a nse c解法 2 xx t a ns e c ?)ta n(s e c xx ?xxx xxx dt a ns e c t a ns e cs e c2? ???)ta n(s e cd xx ?同樣可證 ? xxdcsc Cxx ??? c o tc s cln或 Cx ?? 2t a nln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 222 d)(2123xax? ??例 11. 求 .d)( 23223? ? xax x解 : 原式 = ? ? 23)( 22 ax22 dxx21 222 )( aax ??? ??? 21)(21 22 ax )(d 22 ax ?? ??? 23)(2 222axa )(d 22 ax ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )2c o s2c o s21( 241 xx ???例 12 . 求 解 : 224 )( c o sc o s xx ?? 2)2 2c o s1( x??)2c o s21( 2 4c o s141 xx ????)4c o s2c o s2( 212341 xx ????? ? xx dc o s 4 xxx d)4c o s2c o s2( 212341 ???? xd23 )2d(2c o s xx?? ?)4(d4c o s81 xx??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 13. 求 解 : ?xx 3c o ss in 22? 221 )]2s i n4(sin[ xx ?xxxx 2sin2sin4sin24sin 24141241 ????)8c o s1(81 x?? xx 2c o s2s in 2? )4c o s1(81 x??∴ 原式 = ? xd41 )8d(8c o s641 xx??)2(si nd2sin 221 xx?? )4d(4c o s321 xx??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xexex xx dd ??? xex x d)1(例 14. 求 解 : 原式 = xexe)1(1xx xexe ?)(d)111( xxx exexex ??? ?)1(1xxxxxexexexe????xexln? xex?? 1ln C?Cexxx x ????? 1lnln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分析 : 例 15. 求 解 : 原式 ??? ? )( )( xf xfxxfxfxfxfxf d)()()(1)()(2 ???????????? ?xxfxfxfxf d)()()()(22?????Cxf xf ?????????2)()(21))( )(d( xf xf?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? ?? )( )( xf xf小結(jié) 常用簡(jiǎn)化技巧 : (1) 分項(xiàng)積分 : (2) 降低冪次 : (3) 統(tǒng)一函數(shù) : 利用三角公式 。 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 c o ss in1 ??萬(wàn)能湊冪法 ?? ? xxxf nn d)( 1 nnn xxf d)(1 ??? xxxf n d1)( nxnn xxf n d)( 11 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用積化和差 。 分式分項(xiàng) 。 利用倍角公式 , 如 思考與練習(xí) 1. 下列各題求積方法有何不同 ? ? ? xx4 d)1( ? ? 24 d)2( xxxxx d4)3( 2? ?xxx d4)4( 22? ?? ? 24 d)5( xx? ? 24 d)6( xx x? ??? 22214)4(dxxxx ??? 2121機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 求 提示 : 法 1 法 2 法 3 10) x?10d x101?10(x10d ?x101?作業(yè) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、第二類換元法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第一類換元法解決的問(wèn)題 難求 易求 xxxf d)()]([ ?? ?? ?? uuf d)()( xu ??若所求積分 xxxf d)()]([ ?? ?? 易求 , 則得第二類換元積分法 . 難求， ? uuf d)(CxF ?? )()()]([)( ttft ?? ??? ?定理 2 . 設(shè) 是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且 具有原函數(shù) , .)()(1 的反函數(shù)是其中 txxt ?? ?? ?證 : 的原函數(shù)為設(shè) )()]([ ttf ?? ?,)(t? 令 ])([)( 1 xxF ??? ?則 ?? )( xF tdd? xtdd? )()]([ ttf ?? ?? )(1t??? )(xf?xxf d)(?? Cx ??? ? )]([ 1?Ct ??? ][ )(1 xt ?? ? )(1d)()]([ xttttf ???? ???機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則有換元公式 例 16. 求 .)0(d22 ??? axxa解 : 令 ,),(,s i n 22 ????? ttax (正弦代換 ) 則 taaxa 22222 s in??? ta cos?ttax dc o sd ?∴ 原式 ta c o s?? tta dc o s? tta dc o s 22 ??? ? Ca ?? 2 4 2si n2 tt ?a x22 xa ?taxarcsi n Cxax ??? 222122a?ttt c o ss in22s in ? 2? ax? axa 22 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 17. 求 解法一 : 令 ,),(,t a n 22 ????? ttax (正切代換 ) 則 22222 ta n ataax ??? ta sec?ttax ds e cd 2?∴ 原式 ?? ta 2sectasec td tt dse c??1t a ns e cln Ctt ???ax22 ax ?t?ln? 22 ax ?)ln( 1 aCC ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ? xa ? 1C?例 17. 求 解法二 : 令 ,s htax ?? (雙曲代換 ) 則 c h taatshaax ????? 22222 tc h tax dd ??))/(1/l n ()/( 2axaxaxa r c s ht ????∴ 原式 ?? chta?chta? ?? dt1Ct ??? ? Cxax ???? 22ln )ln( 1 aCC ??td例 18. 求 解 : ,時(shí)當(dāng) ax ? 令 ,),0(,s e c 2??? ttax (正割代換 ) 則 22222 s e c ataax ??? ta tan??xd ttta dta ns e c∴ 原式 t?? d tta ta ns e cta tantt dse c??1t a ns e cln Ctt ???22 ax ?t1 ln C??)ln( 1 aCC ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22 ax ?a?xa,時(shí)當(dāng) ax ?? 令 ,ux ?? ,au ?則 于是 ? ??? 22d au u 122ln Cauu ?????122ln Caxx ??????1222ln Caxxa ??????)ln2( 1 aCC ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 原式 ? ??? 21)1( 22 ta221a例 19. 求 .d422? ? xx xa解 : 令 ,1tx ? (倒代換 ) 則 原式 ?? tt d12?? ttta d)1( 2122? ???42112tta ?Cata ????2223)1( 23當(dāng) x 0 時(shí) , 類似可得同樣結(jié)果 . )1(d 22 ?ta機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 20. 求 .dln1ln? ? xxx x解 : 為了去掉根號(hào)，作代換 ,ln1 xt ?? 則 原式 t d ttt