【正文】 2) 比 ? ? xvu d 好求 . 一般經(jīng)驗(yàn) : 按“ 反 , 對(duì) , 冪 , 指 , 三 ” 的順序 , 排前者取為 u , 排后者取為 .v?計(jì)算格式 : 列表計(jì)算 ? ? xv d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xvu n d)1(? ? ? ??? xvuvu nn d)()()1()( ???? nn vuvu ? ???? xvu n d)1(?????????? ?? )2()1()( nnn vuvuvu xvu nn d)1( )1(1 ? ????多次分部積分的 規(guī) 律 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )2()1()( ?? ?????? nnn vuvuvu xvu n d)2( ?? ????快速計(jì)算表格 : )(ku)1( knv ??u u? u? ? )(nu)1( ?nv )(nv )1( ?nv ? v?? ? ? n)1(?)1( ?nuv??? 1)1( n特別 : 當(dāng) u 為 n 次多項(xiàng)式時(shí) , ,0)1( ??nu 計(jì)算大為簡(jiǎn)便 . 例 1. 求 解 : 原式 xxxxxd233222? ??xxxd)(1)(23232? ??? ?? xx2323232 )(1)(dln1xaaa xx dlnd ?Cx??? 3ln2ln )a rc t a n ( 32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 2. 求 解 : ? ???? 21]5)1l n ([ 2xx原式 ]5)1l n ([d 2 ??? xx 21 xx ???xxx d)1( 212 2 ??21d x???32? 5)1ln( 2 ??? xx ? C?23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析 : ]5)1l n ([d ??? xx例 3. 求 解 : (習(xí)題課教程 P116) 原式 xxxxxd2c o s22c o s2si n22????? 2t a nd xx xx d2t a n??Cxx ?? 2t a n 分部積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有時(shí)可將原不定積分拆成兩個(gè)不定積分 ,將其中一個(gè)用分部積分法 ,可得與另一個(gè)不定積分形式完全相同 ,但符號(hào)相反的不定積分 ,從而“抵消” . 例 4. 設(shè) 解 : 令 ,tyx ??求積分 即 txy ??,123?? ttx ,12 ?? tty 而 ttttx d)1()3(d2222?????? ? 1原式 tttt d)1()3(2222??123?tt132 ?? ttCyx ???? 1)(ln 221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 5. 求 解 : ??? xea rc t a n原式 xe?dxx ee a rc t a n??? ? ?? xe xeexxd1 2?xx ee a rc t a n??? xeeexxxd1)1(222? ? ???xx ee a rc t a n??? x? Ce x ??? )1(ln 221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 6. 求 解 : 取 23 ?? xx 13 2 ?x x6 6 0xe2 xe221 xe241 xe281 xe2161? ? ? ??xe 2?? 原式 )2( 321 ?? xx )13( 241 ?? x x681??Cxxxe x ????? )7264( 232816161 ?? ? C?xxaxaexPxkn dc o ssi n)(???????????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明 : 此法特別適用于 如下類型的積分 : 例 7. 設(shè) 證 : 證明遞推公式 : )2(12t a nse c11 22 ??????? ?? nInnxxnI nnn?? ? ? xI nn 2se c?? ? xn 2se cxxxn n t a nse cse c)2( 3 ??? ? ?xxn t a ns e c 2 ?? ? xxxn n d)1(s e cs e c)2( 22 ???? ? ?xxn ta ns e c 2 ?? ? nIn )2( ?? 2)2( ??? nInxdsec 2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 8. 求 解 : 設(shè) 1)( ??? xxF 1。)( 2 ???? )04,N( 2 ??? ? qpk若干部分分式之和 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 1. 將下列真分式分解為部分分式 : 解 : (1) 用拼湊法 22 )1()1(1??? xxxx 2)1(1??x )(1?? xx2)1(1??x )1( ?? xx2)1(1??x 11?? x x1?)1( ?? xx)1( ?? xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 用賦值法 6532 ???xxx)3)(2(3????xxx2? xA3?? xB原式???? )2( xA 2?x 233 ???? xxx 5??原式??? )3( xB 3?x 323 ???? xxx 6?故 25??? x原式 36?? x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 混合法 ??? )1)(21(12xx ?? xA21 21 xCBx??原式??? )21( xA21??x54?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 C?? 541215461 CB ???52??B51?C原式 = x21 451 ???? ???? ?? 21 12 xx四種典型部分分式的積分 : CaxA ??? ln)1( ?n CaxnA n ???? ?1)(1? ? xax A ? ? xax A n d)(.2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? ?? ? xqxpx NxM 2? ?? ? xqxpx NxM n d)(.4 2變分子為 )2(2 pxM ? 2 pMN ??再分項(xiàng)積分 例 2. 求 解 : 已知 )1)(21(12xx ?? ????51x214? 212xx?? ????? 211x? ???? xx21 )21(d52原式 ? ??? 221)1(d51xx ??? 21d51xxx21ln52 ?? )1(ln51 2x?? Cx ?? a rct a n51例 1(3) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 3. 求 解 : 原式 xxx d322? ??? 3)22(21 ??x? ?? ??? 32 )32d(21 22xxxx32ln21 2 ??? xx? ?? ?? 22 )2()1( )1d(3 x xCx ??? 2 1a rc ta n23思考 : 如何求 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示 : 變形方法同例 3, 并利用 第三節(jié)例 9 . (P167例 2) 例 4. 求 解 : 首先將分母分解因式 : )1)(1()1()1(1 3334 ?????????? xxxxxxxx)1()1( 22 ???? xxx1)1(1)()(26524321 ??????????xxaxaxaxaaxaxfxf 有分解式：于是2652433321234522)1)(()1()1()1)(1)((322:)1()1(???????????????????xaxaxxaxaxxaxaxxxxxxxx兩邊同乘因式比較上式兩端同次項(xiàng)系數(shù)得 ???????????????????02212264365465453aaaaaaaaaaa.0,1: 6543 ???? aaaa于是解出1)1(111)(22 ????????xxxxxxxf于是分項(xiàng)積分得 : 111ln22????? xxx ??????1)1(2122xxxxd? ?? ????4/32/1)2/1(212xxd111ln22????? xxx)1ln (21 2 ??? xx? ??? xxx d)4)(1( 22 )4()1( 22 ??? xx例 5. 求 ? ?? ?? xxx xxI d45 52 243? ?? ?? xxx x d45 52 242? ?? ??? 45 )45d(21 2424xxxx45ln21 24 ??? xx 2a r c t a n21 x Cx ?a rc t a n解 : 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明 : 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行 , 但不一定簡(jiǎn)便 , 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 簡(jiǎn)便的方法 . 例 6. 求 解 : 原式 ? ??? xxx d)22( 22)22( 2 ?? xx )22( ?? x? ??? 1)1( d 2x x ? ?? ??? 222)22()22d(xxxx)1a rc ta n ( ?? x 2212 ??? xx C?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 7. 求 解 : 作代換 t = x5 + 1 ,則 dt = 5x4 dx .于是 ? ?? )()1(51 5355xdxx原式 dttt? ??3151Cttdttdtt ?????? ?? ?? 232 10 1515151Cxx ?????? 255 )1(10 1)1(5 1常規(guī) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 8. 求 解 : 原式 ? ?? xx d14)1( 2 ?x )1( 2 ?? x21? ?1d4x x(公式 21) 2a rc t a n221 1xx ??21?221 ln 21 ?? xx21 ?? xxC?xxxx d12122121? ??? xxxx d12122121? ???? ??? 2)(21 21xx)d( 1xx ? ????2)(2121xx)d( 1xx ?注意本題技巧 按常規(guī)方法較繁 二 、可化為有理函數(shù)的積分舉例 設(shè) 表示三角函數(shù)有理式 , xxxR d)c o s,(si n?令 2tan xt ? 萬能代換 t 的有理函數(shù)的積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 三角函數(shù)有理式的積分 則 例 9. 求 .d)c o s1(si n si n1? ?? xxx x解 : 令 ,2ta n xt ? 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222222c o ssi nc o ssi n2si nxxxxx??222t an1t an2xx??212tt??22222222c o ssi nsi nc o sc o sxxxxx?