【正文】 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? [三基類 ] 解： w w x w y w zs x s y s z s? ? ? ? ? ? ?? ? ?2 2 c os 2 si nx t y t t? ? ? 210wsst? ???? 4. [一般綜合 ] 解 ： 題設(shè)二次積分的積分區(qū)域?yàn)?0,66y y x??? ? ? ? 重新確立積分區(qū)域 D 的積分限 0 , 06x y x?? ? ? ? 于是 6 6 6 60 0 0c o s c o s 1d d d d c o s d 2xyoxxy x x y x xxx? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 5. [三基類 ] 解： 在極坐標(biāo)下， ? ?? ?, | 0 2 , 0 2D r r? ? ?? ? ? ? ? 原式 = 2422 2 220 0 0 0( 1 ) 442rrd r r d r d??? ? ???? ? ? ?????? ? ? 6. [一般綜合 ] 解： 設(shè) 3!nn nnu n??1113 ( 1 ) ! 3 3l i m l i m l i m 11( 1 ) 3 ! ( 1 )nnnnnn n n nnu nnu n n en???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ?， 由比值判別法知級數(shù)13!n nnnn???? 發(fā)散 . 7. [一般綜合 ] 解： 設(shè) 310!nnu n?3 3 3131 0 ! 1 0l im l im l im 0 1( 1 ) ! 110nnnn n nnu nu n n??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? 由比值判別法知級數(shù) 3110!nn n???收斂 ?原級數(shù)絕對收斂 . 四．解： [教 師答題時(shí)間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 222( 2 2 4 1 ) 0( 2 2 )xxxyf e x y yf e y? ? ? ? ? ??? ???? 駐點(diǎn)為 1(,1)2? 2 2 2 24 ( 2 1 ) , 2 ( 2 2 ) , 2x x xx x x y y yf e x y y f e y f e? ? ? ? ? ? ? 1 1 1( , 1 ) 2 , ( , 1 ) 0 , ( , 1 ) 22 2 2x x x y y yf e f f e? ? ? ? ? ? 2 0, 0AC B A? ? ?具 有 極 小 值, 1) 2e? ??1f(2 五、 [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： c os c ossi n 2x dx x dxy e x e dx c????? ? ?????? s i n s i n2 s in s inxxe x e d x c? ??? ? ?????? sin2 s in 2 xx ce ?? ? ? 六 ： 應(yīng)用題 [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： 由已知有 1 5dydt S??(1) 15dS Sdt ?? (2) 解微分方程 (2)得 5tS Ce?? 由 0| 10tS ? ? 得 , 10C? ,故存貯費(fèi)用與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為 510 tSe?? 將上式帶入微分方程 (1),得 51 510 tdy edt ?? 從而 511 52ty e t C? ? ? 由 0|0ty ? ? 得 ,1 12C??.從而銷售成本與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系為 311522ty e t? ? ? 2022～ 2022 學(xué)年度第 二 學(xué)期 高等數(shù)學(xué) 12 試卷（ C 卷）標(biāo)準(zhǔn)答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題（每題 3分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ] １ . 1 ； ２ . ? ?? ?10yydxyxfdy ， ； ３ . 2； ４ . 2 2 2 2 2 2 2 2 2,x y zx y z x y z x y z????? ? ? ? ? ???；５ .02 2 s in s in3n xb nxdx??? ? 二 、選擇題（每小題 3 分，共 15 分） [三基類 ] [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ] 1．（ B）； 2．（ D）； 3．（ A）； 4．（ C）； 5．（ A）． 三、 計(jì)算題（每題 8分，共 56分） [三基類、一般綜合型 ] [教師答題時(shí)間： 26分鐘 ] （ 8分） [一般綜合 ] 解：212 fyfxxz ?????? ，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 ? ?2221222112 224 fx y ffyxx y fyx z ????????? ，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （ 8分） [三基類 ] 解： 作極坐標(biāo)變換 ?? s inc o s ryrx ?? ， ，有 ? ? ? ?? ?2 c os2202232c os si n ...... ...... .....48c os si n c os ...... ...... ...... 43Dx y dx dy d r drd?????? ? ?? ? ? ? ???? ? ?? ? ??? ? ??分分 （ 8 分） [三基類 ] 解：(1 , 0 ) (1 , 0 )( 2 ) 2z xyx? ? ? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 (1 , 0 ) (1 , 0 )( 4 ) 1z yxy? ? ? ? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 切線方向向量 ? ?(1 ,0 )1, 2 (1, 2 )sx? ? ? ? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分 得 1cos5??， 2cos5? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 有(1,0) 45zl? ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 4. （ 8分） [一般綜合 ] 解： ? ?( ) l n l n 1 ( 1 )f x x x? ? ? ? 　 ． ． ． ． ． ． ． ． ３ 分 　 　 　 11( 1 )( 1 ) ( 0 2 )nnnx xn? ???? ? ? ?? ． ． ． ． ． ． ． ５ 分 5. （ 8分） [三基類 ] 解： 該方程為一階線性微分方程 xxyxxy ln 1lnln1 ???? ．．．．．．．．．． ．．．．．．． 2分 因此， ? ? xxxP ln1? ， ? ? xxxQ ln 1ln ?? ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 代入一階線性微分方程的求解公式，有 ???????? ????? ?? Cdxexxey dxxxdxxx ln1ln1 ln 1ln ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 ?????? ???? ? Cx dxxxx lnln 1lnln1 ? ?? ?Cdxxx ??? ? 1lnln1 ? ?Cxxx ?? lnln1 所以，原方程的通解為 ? ? xCxCxxxy lnlnln1 ???? ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 6. （ 8分） [一般綜合 ] 解： 所求直線 l 過點(diǎn) ? ?3,2,10 ?P ，設(shè)其方向向量為 s? ， 由于 l 平行于平面 12 ?? zx 和 23 ?? zy ，所以其方向向量 s? 同時(shí)垂直于向量? ?2,0,11 ?n? 與 ? ?3,1,02 ??n? ． ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 因此， 方向向量 s? 可取為 ， kjikjisns ????????? ???????? 32310201 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 從而所求直線方程為 1 33 221 ?????? zyx ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 四． (7 分 )解： [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ][綜合題 ] ⑴ . 因?yàn)榧墧?shù) ? ??????11ln1nn nn 為交錯(cuò)級數(shù)， nnun 1ln ?? ．由于， ? ?? ? 012 2ln12ln1ln12ln 2221 ??? ???????????? nn nnn nnnnnnuu nn 所以數(shù)列 ??nu 單調(diào)減少． ．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分 且 01lnlimlim ??????? nnu nnn．．．．．．．．．．．．．．．．．． １ 分 因此由 Leibniz判別法知，級數(shù) ? ??????11ln1nn nn 收斂．．．．．．．．．．．．． 2分 ⑵ . 討論級數(shù) ? ? ?? ????????111ln1ln1nnn nnnn ．其前 n 項(xiàng)部分和為 ???? nkn kks11ln ? ? ? ? ? ? ? ?? ?nn ln1ln3ln4ln2ln3ln1ln2ln ?????????? ? ? ? ???? 1ln n ? ???n 所以，級數(shù) ? ? ?? ????????111ln1ln1nnn nnnn 發(fā)散．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分 綜上所述知，級數(shù) ? ??????11ln1nn nn 條件收斂．．．．．．．．．．．．．．． ．．． 1分 五 ： 應(yīng)用題 [教師答題時(shí)間： 5 分鐘 ][綜合題 ] 解： 任意 t 時(shí)刻，已掌握新技術(shù)的人數(shù) ()xt 和未掌握新技術(shù)的人數(shù) ()N xt? 已掌握新技術(shù)的人數(shù)變化率 dxdt ，所以 ()dx kx N xdt ?? 11( ) ( )dx k x N x d x N k d td t x N x? ? ? ? ?? 111( ) l n l n ( )d x N k d t x N x N k t Cx N x? ? ? ? ? ? ?? Nktx CeNx?? ， 在 0t? 時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為 0x ，所以 00xC Nx? ? 即 000 0 0N k tN k tN k tx x N ex exN x N x N x x e? ? ?? ? ? ?