天津科技大學(xué)11-12學(xué)年高等數(shù)學(xué)一二a卷-資料下載頁(yè)
2025-01-08 21:05本頁(yè)面
【正文】 因此， 級(jí)數(shù) ?????11 !)1(n nnn n收斂，且為 絕對(duì)收斂． （ 6 分） ???1 2n nnnx的 收斂半徑和 收斂區(qū)間 ． 解： 由2112 2limlim 11 ??? ?????? nnaa nnnnnn， （ 2 分） 故 收斂半徑 22/11 ??R ． （ 4 分） 因此， 冪級(jí)數(shù) ???1 2n nnnx的收斂區(qū)間是 ( 2, 2)? ．（ 6 分） 年級(jí)： 2022 專(zhuān)業(yè)： 工 科 各專(zhuān)業(yè) 課程號(hào)： 1101030610 第 6 頁(yè) （共 6 頁(yè)） 七 、 極值題 （ 8 分） 要造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方 形容器 ,已知底部造價(jià)為每平米 20 元 ,側(cè)面造價(jià) 為每平米 10 元 .現(xiàn)想用 360 元造一個(gè)容積最大的容器 ,求該 長(zhǎng)方形 容器的尺寸 . 解： 設(shè) 容器 的長(zhǎng)、寬、高分別為 zyx , .則容器的容積為 =Vxyz )0,0,0( ??? zyx ,且滿(mǎn)足條件 20 20 ( ) = 36 0xy x y z?? ,即 =18xy xz yz?? . （ 2 分） 設(shè) ( , , ) ( + 18 )L x y z x y z x y y z zx?? ? ? ?， （ 3 分） 由 ( ) 0( ) 0( ) 0xyzL yz y zL xz x zL yz x y???? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? （ 4 分） 得到 x y z?? （ 5 分） 。代入 =18,xy yz zx?? 得唯一可能的極值點(diǎn)=6x y z?? （米） （ 6 分）。 因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知 V 的最大值一定存在，所以其最大值一定在這個(gè)極值點(diǎn)處取得 （ 7 分） 。 因此， 當(dāng) =6x y z?? 米時(shí)， 長(zhǎng)方形 容器的尺寸最大，其最大容積為66立米。 （ 8 分） 八、證明題（ 6 分） 設(shè) 0na? ， 0nb? ， 11nnab??? ( 1, 2, 3 )n? ,且級(jí)數(shù)1 nn b???收斂， 證明 級(jí)數(shù)1 nn a???收斂 . 證明 ： 因?yàn)?11nnab??? ， 且 0na? ， 0nb? , 所以 11nnnnbbaa???（ 2 分） 令 11bk a? , 有 12120nnbbbk a a a? ? ? ? ?, 故有 nnka b? . （ 4 分） 由于1 nn b???收斂 , 所以1 nn ka???收斂 ,從而1 nn a???收斂 .（ 6 分） 得分 得 分
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