安徽省“江淮十?！备呖紨?shù)學(xué)文科模擬試卷(月)含解析-資料下載頁
2025-01-08 20:24本頁面
【正文】 極小值，且為 f（ 1） = e； （ 2）函數(shù) f（ x） =（ x2+ax+2） ex 的導(dǎo)數(shù)為 f′（ x） =（ 2x+a） ex+（ x2+ax+2） ex=[x2+（ 2+a） x+a+2]ex， 由于 ex＞ 0 恒成立，可令 g（ x） =x2+（ 2+a） x+a+2， 由 f（ x）在 R 單調(diào)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)， 可得 f（ x）在 R 單調(diào)遞增，即為 g（ x） ≥ 0 恒成立， 即有 △ =（ 2+a） 2﹣ 4（ 2+a） ≤ 0， 解得﹣ 2≤ a≤ 2． 則 a 的取值范圍是 [﹣ 2， 2]． 21．平面上動點 M 到直線 x=﹣ 1 的距離比它到點 F（ 2， 0）的距離少 1． （ 1）求動點 M 的軌跡 E 的方程； （ 2）已知點 B（﹣ 1， 0），設(shè)過點（ 1， 0）的直線 l 與軌跡 E 交于不同的 兩點 P、 Q，證明：x 軸是 ∠ PBQ 的角平分線所在的直線． 【考點】 軌跡方程． 【分析】 （ 1）把直線 x=﹣ 1 向左平移一個單位變?yōu)?x=﹣ 2，此時點 M 到直線 x=﹣ 2 的距離等于它到點（ 2， 0）的距離，即可得到點 M 的軌跡方程． （ 2）將 y=k（ x﹣ 1）代入 y2=8x 中，得 k2x2﹣（ 2k2+8） x+k2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系，證明 + =0，即可證明結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）因為點 M 到直線 x=﹣ 1 的距離比它到點（ 2， 0）的距離小 1， 所以點 M 到直線 x=﹣ 2 的距離等于它到點（ 2， 0）的距離， 因此點 M 的軌跡為拋物線，方 程為 y2=8x． （ 2）將 y=k（ x﹣ 1）代入 y2=8x 中， 得 k2x2﹣（ 2k2+8） x+k2=0， 第 17 頁（共 20 頁） 由根與系數(shù)的關(guān)系得， x1+x2=2+ ， x1x2=1． ∴ + = =0， ∴ =﹣ ， ∴ x 軸是 ∠ PBQ 的解平分線． k 不存在時，結(jié)論同樣成立． 請考生在第 2 2 24 三題中任選一題作答，如果多選，則按所做的第一題記分 .[選修 41:幾何證明選講 ] 22．如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD 中， BD 是圓的直徑， AB=AC，延長 AD 與 BC 的延長線相交于點 E，作 EF⊥ BD 于 F． （ 1）證明： EC=EF； （ 2）如果 DC= BD=3，試求 DE 的長． 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】 （ 1）通過證明 △ DEF≌△ DEC，即可證明： EC=EF； （ 2）如果 DC= BD=3，證明 ∠ BDC=∠ EDC，利用等腰三角形的性質(zhì)求 DE 的長． 【解答】 （ 1）證明：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得 ∠ ABC=∠ CDE； ∵ AB=AC， ∴∠ ABC=∠ ACB， ∵∠ ACB=∠ ADB=∠ EDF， ∴∠ CDE=∠ EDF， ∵ BD 是圓的直徑， ∴ BC⊥ DC， ∵ EF⊥ BD， DE=DE， ∴△ DEF≌△ DEC， ∴ EC=EF； （ 2）解： ∵ DC= BD=3， BC⊥ DC， ∴∠ BDC=60176。， ∴∠ BAC=60176。， ∴∠ ABC=60176。， ∴∠ EDC=60176。， ∴∠ BDC=∠ EDC， 第 18 頁（共 20 頁） ∵ DC⊥ BC， ∴ DE=BD=6． [選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ] 23．以坐標(biāo)原點為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線 C 的參數(shù)方程為：（ φ 為參數(shù)），直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ（ cosθ+sinθ） =4． （ 1）求曲線 C 的普通方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若點 P 在曲線 C 上，點 Q 在直線 l 上，求線段 PQ 的最小值． 【考點】 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方 程化成普通方程． 【分析】 （ 1）曲線 C 的參數(shù)方程為： （ φ 為參數(shù)），利用 cos2φ+sin2φ=1 可得普通方程．把 x=ρcosθ， y=ρsinθ 代入直線 l 的極坐標(biāo)方程 ρ（ cosθ+sinθ） =4，可得直角坐標(biāo)方程． （ 2）令 P ，（ α∈ [0， 2π））．則點 P 到直線 l 的距離d= = ，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出． 【解答】 解：（ 1）曲線 C 的參數(shù)方程為： （ φ 為參數(shù)），可得普通方程： +y2=1． 直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ρ（ cosθ+sinθ） =4，可得直角坐標(biāo)方程： x+y﹣ 4=0． （ 2）令 P ，（ α∈ [0， 2π））．則點 P 到直線 l 的距離d= = ≥ ，當(dāng)且僅當(dāng) =1 時取等號． ∴ 線段 PQ 的最小值為 ． [選修 45：不等式選講 ] 24．已知函數(shù) f（ x） =|x﹣ a|﹣ |x+3|， a∈ R． （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時，解不等式 f（ x） ≤ 1； （ Ⅱ ）若當(dāng) x∈ [0， 3]時， f（ x） ≤ 4，求 a 的取值范圍． 【考點】 絕對值不等式的解法． 【分析】 （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時，不等式為 |x+1|﹣ |x+3|≤ 1，對 x 的取值范圍分類討論，去掉上式中的絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可； （ Ⅱ ）依題意知， |x﹣ a|≤ x+7，由此得 a≥ ﹣ 7 且 a≤ 2x+7，當(dāng) x∈ [0， 3]時，易求 2x+7 的最小值，從而可得 a 的取值范圍． 【解答】 解： （ Ⅰ ）當(dāng) a=﹣ 1 時，不等式為 |x+1|﹣ |x+3|≤ 1． 當(dāng) x≤ ﹣ 3 時，不等式化為﹣（ x+1） +（ x+3） ≤ 1，不等式不成立； 當(dāng)﹣ 3＜ x＜ ﹣ 1 時，不等式化為﹣（ x+1）﹣（ x+3） ≤ 1，解得﹣ ≤ x＜ ﹣ 1； 當(dāng) x≥ ﹣ 1 時，不等式化為（ x+1）﹣（ x+3） ≤ 1，不等式必成立． 第 19 頁（共 20 頁） 綜上，不等式的解集為 [﹣ ， +∞）． … （ Ⅱ ）當(dāng) x∈ [0， 3]時， f（ x） ≤ 4 即 |x﹣ a|≤ x+7， 由此得 a≥ ﹣ 7 且 a≤ 2x+7． 當(dāng) x∈ [0， 3]時， 2x+7 的最小值為 7， 所以 a 的取值范圍是 [﹣ 7， 7]． … 第 20 頁（共 20 頁） 2022 年 8 月 27 日
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