【正文】 1011111?GTG第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 yuXGyBuXGCAX??????????????????????????????????????????210103120101~221021011051030120229~)(~? 4)系統(tǒng)觀測器方程 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 ? 例 :系統(tǒng)的動態(tài)方程為 ? ? 試設(shè)計一個狀態(tài)觀測器，觀測器的特征值要求設(shè)置在 {10 ,10} 。 ? ? x02yu10x3210x ??????????????????方法三：直接求解反饋陣 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 解： 將觀測器增益矩陣 G 寫成 ? ?1 1 12 2 220, 2 020g g gG G cg g g? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?觀測器的特征方程為 1221 1 221()2 2 3( 2 3 ) ( 6 2 2 ) 0sgsI A Gcgss g s g g??? ? ???? ? ? ? ? ? ?第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 根據(jù)給定的特征值，可求出期望的多項式為 100s20s)10s( 22 ????比較上述兩多項式中 s的同次項系數(shù)得 , ??因此觀測器的方程為 yu10x?349117x? ?????????????????????????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 在極點配置的設(shè)計過程中，假設(shè)真實狀態(tài)x(t)可用于反饋。然而實際上，真實狀態(tài) x(t)可能無法測量，所以必須設(shè)計一個觀測器，并且將觀測到的狀態(tài) 用于反饋。因此，該設(shè)計過程分為兩個階段，第一個階段是確定反饋增益矩陣 K，以產(chǎn)生所期望的待征方程；第二個階段是確定觀測器的增益矩陣 ，以產(chǎn)生所期望的觀測器特征方程。 )(~ txG 帶狀態(tài)觀測器的 狀態(tài)反饋系統(tǒng) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 若原系統(tǒng) (對象 )方程為 cxybuAxx ??? ,?現(xiàn)以狀態(tài)觀測器所得到的狀態(tài)估計值 代替原系統(tǒng)的狀態(tài)變量 x 形成狀態(tài)反饋，即 x?x?kvu ??而觀測器的方程為 ? ?()x A G c x b u H y? ? ? ?第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 由對象、觀測器和狀態(tài)反饋組合而成的閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖 519所示。 圖 519 帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 將以上三式合并化簡，可得 buG c xxbkGcAxcxybvxbkAxx??????????)(?,???TTT ]x?x[取狀態(tài)變量為 ? ? ????????????????????????????????????xxcyvbbxxbkGcAGcbkAxx?0????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 將 (5176) 、 (5177)式的動態(tài)方程進行如下的坐標變換 ????????????????????x?xII0Ix~x (5178) ?????????????????II0IPII0IP 1所得到的動態(tài)方程為： ? ? ???????????????????????????????????xxcyvbxxGcAbkbkAxx~00~0~??(5179) (5180) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 b)]bkA(sI[c)s(g 1f ????閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以通過 (5179)式、(5180)式來計算。 從 (5179)式可知，這時閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征式可計算如下 )](d e t [)](d e t [0d e t 2GcAsIbkAsIGcAbkbkAsInnn????????????????????(5181) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 上式表明 , 圖 519所示閉環(huán)系統(tǒng)的特征式等于矩陣 Abk 與矩陣 AGc 的特征式的乘積，而 Abk 是狀態(tài)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣， AGc是觀測器的系統(tǒng)矩陣， (5181)式表明狀態(tài)反饋系統(tǒng)的動態(tài)特性和觀測器的動態(tài)特性是相互獨立的。 這個特點表明：若系統(tǒng)是可控、可觀的，則可按閉環(huán)極點配置的需要選擇反饋增益陣 k，然后按觀測器的動態(tài)要求選擇 G， G的選擇并不影響已配置好的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。因此系統(tǒng)的極點配置和觀測器的設(shè)計可分開進行，這個原理通常稱為 分離定理 。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 由狀態(tài)反饋（極點配置）選擇所產(chǎn)生的期望閉環(huán)極點，應(yīng)使系統(tǒng)能滿足性能要求。觀測器極點的選取通常使得觀測器響應(yīng)比系統(tǒng)的響應(yīng)快得多。一個經(jīng)驗法則是選擇觀測器的響應(yīng)至少比系統(tǒng)的響應(yīng)快 2~5倍。因為觀測器通常不是硬件結(jié)構(gòu)，而是計算軟件，所以它可以加快響應(yīng)速度，使觀測狀態(tài)迅速收斂到真實狀態(tài)，觀測器的最大響應(yīng)速度通常只受到控制系統(tǒng)中的噪聲和靈敏性的限制。注意，由于在極點配置中，觀測器極點位于所期望的閉環(huán)極點的左邊，所以后者在響應(yīng)中起主導(dǎo)作用。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 通常把反饋增益陣和觀測器一起稱為 控制器 圖 520 控制器 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 希望用狀態(tài)反饋使閉環(huán)的極點為 4177。 6j，并求實現(xiàn)這個反饋的狀態(tài)觀測器，觀測器的極點設(shè)置在 10， 10。 例 1 ? 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 )6s(s1)s(G??第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 解： 由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可知 ,其二階動態(tài)方程實現(xiàn)是可控且可觀的。為了設(shè)計觀測器方便，現(xiàn)取可觀標準形實現(xiàn)，即 ? ? x10yu01x61 00x ?????????????????根據(jù)題意要求閉環(huán)特征方程為 052s8s 2 ???第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 2 21( ) ( 6 )sI A G c s g s g? ? ? ? ? ?令兩個特征式對應(yīng)的系數(shù)相等，可解出 k1=2, k2=40。 再求觀測器，根據(jù)極點的要求，期望多項式為 0100s20s 2 ???令 , 使 ? ?12TG g g?求狀態(tài)反饋 k，令 k=[k1 k2 ] 。求出狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式 1212 k6ks)k6(s)bkA(sI ???????第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 與期望多項式相比 ,得到 g1=100, g2=14。 由式可計算出觀測器方程為 y14100u01x2011000x? ????????????????????????由對象、狀態(tài)反饋和觀測器構(gòu)成的整個閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖如圖 521所示。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 圖 521 反饋控制系統(tǒng) 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 例 2：設(shè)計帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 系統(tǒng)的傳函為 )5(100)( )( ?? sssU sY動態(tài)方程為 xxxCyBvA????其中： ? ?01100 0,50 10 ?????????????? ?? CBA要求設(shè)計狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的特征值 s1,2=177。 假設(shè)狀態(tài) x1,x2不可量測，試設(shè)計一個狀態(tài)觀測器 ,其極點為 50。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 解：系統(tǒng)是完全能控的、能觀測的，故 ABK的特征值 可以配置，并可由輸入 u和輸入 y構(gòu)造一個觀測器。 1）設(shè)計狀態(tài)反饋陣 K 設(shè) K=[k2,k1] 閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為 ))(()ss)(ss()s(f221*???????????帶狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為： 212 1 0 0)1 0 05(]d e t [ ksksBKAsI ??????兩個特征多項式的對應(yīng)項相等 ? ? ? ?0 9 1 10 9 1 100100121001002100121????????????????kkKkkkk即2) 設(shè)計觀測器 設(shè) ???????12ggG第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 由極點配置要求，可得相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為： 2 5 0 01 0 0)50()( 22* ????? ssssf觀測器的特征多項式為： 1222 5)5(]d e t [ ggsgsGCAsI ???????兩個特征多項式的對應(yīng)項相等 ???????????????????????????2 0 2 5952 0 2 5952 5 0 0551001212122ggGggggg即故觀測器方程為 y202595v1000~52025195GyBv~)GCA(~????????????????????????????xxx?第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)如圖所示 ),( CBA??100 5 2025 ??2025 95 95 1 y u V 1~x?2~x?2~x1~x+ + + + + + 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 工程應(yīng)用舉例 設(shè)有一個在平面上運動的安裝在馬達傳動車上的單倒擺的系統(tǒng)如圖所示。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 為了簡化問題并保留問題實質(zhì)，忽略擺桿質(zhì)量，小車馬達的慣性，擺軸、車輪軸、車輪與接觸而之間的摩擦、風(fēng)力等因素。如果不給小車施加控制力，倒置擺可能向 左或向右傾倒，這是一個不穩(wěn)定系統(tǒng)。我們的目的是將倒置擺保持在垂直位置上，要求建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；運用狀態(tài)反饋控制規(guī)律將系統(tǒng)閉環(huán)極點配置在希望位 置上；運用全維及降維觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋。 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 一、運動方程的建立及線性化 分析與設(shè)計 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 第五章 線性定常系統(tǒng)的設(shè)計與綜合 用降維觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的單倒置擺系統(tǒng)中 ,降維觀測器將連續(xù)地提供狀態(tài)向量 的估值，任何狀態(tài)變量估值誤差的衰減規(guī)律比 要快 te 2??x以上反饋及全維、降維觀測器的設(shè)計都是基于線性化對象進行的，僅當 、 都很小時，以上設(shè)計才有效。在進行設(shè)計時，已考慮到所加的控制作用可以滿足使 、 為很小的條件。 ? ????