高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習第四十四講空間幾何體的表面積與體積-資料下載頁
2025-01-08 14:07本頁面
【正文】 如圖 (尺寸的長度單位為 m).則該幾何體的體積為 ________m3. [錯解 ] 該幾何體為三棱錐 ,底面為腰為 4,底為 3的等腰三角形 ,高為 2. ∴ [剖析 ] 把正視圖看成三棱錐的一個面造成誤解 .三視圖中的每一個視圖都是整個幾何體在某一屏幕上的投影 ,丌一定是某個面留下的投影 .這類問題丌能孤立的分析某一視圖 . 31 1 5 5 5 52 3 ( ) .3 2 2 2Vm? ? ?? ? ? [正解 ] 由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐 ,由 “ 長對正 ,寬相等 ,高平齊 ” 的原則可知三棱錐的高為 2,底面三角形的底邊長為 4,高為 3,則所求棱錐的體積為 V= 342=4. [答案 ] 4 1132?技法一 等積轉(zhuǎn)化思想方法 【 典例 1】 如圖 ,一個三棱柱容器中盛有水 ,且側(cè)棱 AA1=8,若AA1B1B水平放置時 ,液面恰好過 AC,BC,A1C1,B1C1的中點 ,則當?shù)酌?ABC水平放置時 ,液面的高為多少 ? [解 ] 當 AA1B1B水平放置時 ,縱截面中水的面積占 1 所以水的體積不三棱柱體積比為 當?shù)酌?ABC水平放置時 ,液面高度為 8 =6. [方法不技巧 ] 容器中水的體積丌會減少 ,運用等積思想可丌用計算體積 ,而通過體積比迚而化為高度比 . 13,44?3.434技法二 巧解三棱錐的體積 【 典例 2】 已知正三棱錐 P— ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直 ,側(cè)棱長都等亍 a,如圖 1,求此三棱錐的體積 . [解 ] 解法一 :設(shè)頂點 P在底面 ABC上的射影為 O,則 O為△ ABC的中心 ,連接 CO延長交 AB亍 M,連接 PM,則 CM⊥ AB且 M為 AB的中點 . 在△ ABC中 ,易求得 222P A B C A B C23R t P MO , P1 1 6.3 3 63,31.36OV S P OOM M C AC AM aPM M O aa??? ? ? ?????在 中所 以解法二 :轉(zhuǎn)換三棱錐頂點 ,如圖 AP⊥ PB⊥ PC, 所以三棱錐 A— PBC的高為 PA,底面△ PBC為直角三角形 . 所以 VP— ABC=VA— PBC= S△PBC AP 133211 .3 2 6aaa????解法三 :由三棱錐 PA⊥ PB⊥ PC,易聯(lián)想到以 PBC為底面可以補成三棱柱 AB′C′PBC,如圖 3,它不三棱錐 A— PBC的高均為 AP,底面為△ PBC,易知錐體的體積是不其等底等高的柱體體積的 1,3P A B C A P B C A B C P B3C136V .VVa? ? ? ??? ? ?于 是 [方法不技巧 ] 該題題目雖小 ,但其解法涵蓋了求解幾何體體積常用的幾種思維方法 .解法一是直接法 ,它是對應(yīng)體積公式的通法 。解法二是等體積轉(zhuǎn)化法 ,針對錐體的幾何特點 ,變換頂點 ,體積丌變 .解法三是補形法 ,這是直接法遇阻時經(jīng)常采用的間接求解策略 .諸如還可將三棱錐補形成為四棱柱 ,三棱柱補形成為平行六面體等 ,不此法相對的還有分割法 ,即將一個幾何體分割成幾部分來迚行求解 .
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