【正文】 x軸交于點 M ,N, 記A M N?的面積為()St. （ 1 ）當0a ?時 , 求函數(shù)()St的單調區(qū)間； （ 2 ）當2a ?時 , 若0 [ 0 , 2 ]t??, 使得0( ) eSt ?, 求實數(shù)a的取值范圍 . 解 : ( 1 ) 因為1( ) | | e2tS t t a??，其中ta? ， 當 0a ? ，1( ) | | e2tS t t?，其中 0t ? 當 0t ? 時，1( ) e2tS t t?，139。 ( ) ( 1 ) e2tS t t??， 所以 39。 ( ) 0St ? ，所以 ()St 在 ( 0 , )?? 上遞增， 當 0t ? 時，1( ) e2tS t t??，139。 ( ) ( 1 )e2tS t t? ? ?， 令139。 ( ) ( 1 ) e 02tS t t? ? ? ?， 解得 1t ?? ，所以 ()St 在 ( , 1 )? ? ? 上遞增 令139。 ( ) ( 1 ) e 02tS t t? ? ? ?， 解得 1t ?? ，所以 ()St 在 ( 1 , 0 )? 上遞減 。 綜上， ()St 的單 調遞增區(qū)間為 ( 0 , )?? ， ( , 1 )? ? ? ()St 的單調遞增區(qū)間為 ( 1 , 0 )? 。 （ 2 ） 因為1( ) | | e2tS t t a??，其中ta? 當 2a ? ， [ 0 , 2 ]t ? 時，1( ) ( ) e2tS t a t?? 因為0 [ 0 , 2 ]t??，使得0( ) eSt ?，所以()St在[ 0 , 2 ]上的最大值一定大于等于e 139。 ( ) [ ( 1 )] e2tS t t a? ? ? ?，令 39。 ( ) 0St ? ，得 1ta?? ， 當 12a ?? 時，即 3a ? 時 139。 ( ) [ ( 1 )] e 02tS t t a? ? ? ? ?對 ( 0 , 2 )t ? 成立， ()St 單調遞增 所以當 2t ? 時， ()St 取得最大值21( 2 ) ( 2 ) e2Sa ?? ， 令21( 2 ) e e2a ?? ，解得 22ea ?? ，所以 3a ? 。 當 12a ?? 時，即 3a ? 時 139。 ( ) [ ( 1 )] e 02tS t t a? ? ? ? ?對 ( 0 , 1 )ta?? 成立， ()St 單調遞增 139。 ( ) [ ( 1 )] e 02tS t t a? ? ? ? ?對 ( 1 , 2 )ta?? 成立， ()St 單調遞減 所以當 1ta?? 時， ()St 取得最大值11( 1 ) e2aSa??? 令11( 1 ) e e2aSa?? ? ? ，解得 l n 2 2a ?? 所以 ln 2 2 3a? ? ? 。 綜上所述， l n 2 2 a?? 。 例 1 5 . 已知函數(shù) f ( x ) ＝ x3＋32(1 － a ) x2－ 3 ax ＋ 1 ， a ＞ 0 ． ( 1 ) 證明：對于正數(shù) a ，存在正數(shù) p ，使得當 x ∈[ 0 ， p ] 時，有－ 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 ； ( 2 ) 設 ( 1 ) 中的 p 的最大值為 g ( a ) ，求 g ( a ) 的最大值． 解： ( 1 ) 由于 f ′( x ) ＝ 3 x2＋ 3 ( 1 － a ) x － 3 a ＝ 3( x ＋ 1) ( x － a ) ， 且 a ＞ 0 ， 故 f ( x ) 在 [0 ， a ] 上 單調 遞減， 在 [ a ，＋ ∞ ) 上單調遞增 ． 又 f ( 0 ) ＝ 1 ， f ( a ) ＝－12a3－32a2＋ 1 ＝12(1 － a )( a ＋ 2) 2－ 1 ． 當 f ( a ) ≥ － 1 時 ， 取 p ＝ a ． 此時， 當 x ∈[ 0 ， p ] 時有－ 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 成立． 當 f ( a ) ＜ － 1 時 ， 由于 f ( 0 ) ＋ 1 ＝ 2 ＞ 0 ， f ( a ) ＋ 1 ＜ 0 ， 故存在 p ∈ ( 0 ， a ) 使得 f ( p ) ＋ 1 ＝ 0 ． 此時， 當 x ∈[ 0 ， p ] 時有－ 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 成立． 綜上， 對于正數(shù) a ，存在正數(shù) p ，使得當 x ∈[ 0 ， p ] 時，有－ 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 ． ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) 在 [ 0 ，＋ ∞) 上 的 最小值 為 f ( a ) ． 當 0 ＜ a ≤ 1 時， f ( a ) ≥ － 1 ， 則 g ( a ) 是方程 f ( p ) ＝ 1 滿足p ＞ a 的實根， 即 2 p2+ 3 (1 － a ) p － 6 a ＝ 0 滿足 p ＞ a 的實根 ，所以 g ( a ) ＝ 23 ( 1 ) 9 3 0 94a a a? ? ? ?． 又 g ( a ) 在 (0 ， 1] 上單調遞增，故 g ( a ) m a x ＝ g ( 1 ) ＝3． 當 a ＞ 1 時， f ( a ) ＜ － 1 ． 由 于 f ( 0 ) ＝ 1 ， f ( 1 ) ＝92(1 － a ) － 1 ＜ － 1 ， 故 [0 ， p ] ? [ 0 ， 1] ． 此時， g ( a ) ≤ 1 ． 綜上所述， g ( a ) 的最大值為3． ? 5： 4： 1，其中必做題兩道，一道是空間向量與隨機變量輪換；另一道原以為是理科多學科內容的混合題，但近兩年在計數(shù)問題上大做文章， 2022年的最后一題是 2022年天津競賽題選擇題第 5題改編而成，這些創(chuàng)新題實在是令人難以捉摸。 例 16 . 已知 AB ⊥ 平面 A C D ， DE ⊥ 平面 A C D ， △ ACD 為等腰直角三角形， AC ⊥ AD ，且 AD = DE =2 AB ， F 為 CD 中點 . （ 1 ）求證：平面 B C E ⊥ 平面 C D E ； （ 2 ）求直線 BF 和平面 B C E 所成角的正弦值 . A B C D F 解： 以 A 為原點，AC、 AD 、 AB 分別為zyx ,軸建立空間直角坐標系，如圖所示 ． 設aAB ?，因為A C D?為等腰直角三角形，ADAC ?，且ABDEAD 2?? ， 所以),0,0( aB，)0,0,2( aC，)0,2,0( aD，)2,2,0( aaE， 所以),0,2( aaBC ??，),2,0( aaBE ?，)0,2,2( aaCD ??，)2,0,0( aDE ?． （ 1 ）設平面B C E的法向量為),( zyx?1n，則由?????????00BEBC11nn ，得???????0202azayazax， 令 2?z ，則)2,1,1( ??1n． 設平面C D E的 法 向 量 為),( zyx?2n，則由?????????00DECD22nn ，得???????02022azayax， 令1?x，則)0,1,1(?2n． 所以0?? 21 nn，所以 平面B C E ?平面C D E． （ 2 ）因為 F 為CD中點，所以)0,( aaF，),( aaaBF ??． 則32362,c o s ??????????aaBFBFBF111nnn． 設 直線 BF 和平面B C E所成角為?，則32,c oss i n ????1nBF? 所以直線 BF 和平面B C E所成角的正弦值為32． 例 17 . 已知數(shù)集12{ , ,A a a??,}na 12(1 aa? ? ??, 2)nan?? 具有性質 P ：對任意的( 2 )k k n??，, ( 1 )i j i j n? ? ? ?， 使得k i ja a a??成立． ( 1 ) 分別判斷數(shù)集{ 1 , 3 , 4 }與{ 1 , 2 , 3 , 6 }是否具有性質 P ， 并說明理由 ； ( 2 ) 求證 ：122na a a? ? ??1 ( 2)nan ???. 解： （ 1 ）因為 311??， 所以{ 1 , 3 , 4 } 不 具有性質 P . 因為 2= 1+ 1, 3 =1 +2 , 6= 3 3?，所以{ 1 , 2 , 3 , 6 }具有性質 P 。 （ 2 ） 因為集合12= { , , , }nA a a a? ??具有性質 P ： 即對任意的 ( 2 ) ,k k n?? , ( 1 )i j i j n? ? ? ?，使得=+k i ja a a成立， 又因為121 , 2na a a n? ? ?? ?，所以,i k j ka a a a?? 所以11,i k j ka a a a????，所以1= + 2k i j ka a a a ?? 即12nnaa ??，1 2 2 3 3 2 2 12 , 2 , .. ., 2 , 2n n n na a a a a a a a? ? ? ?? ? ? ? 。 將上述不等式相加得 2 1 1 2 1+ + + 2 ( + + + )n n na a a a a a??? ? ? ? ? ? ? 所以1 2 12 + + +nna a a a ?? ? ? ? 。 ? 總之，五年來江蘇新高考數(shù)學卷立足一個“變”字，命題班子不斷在變，命題嘗試不斷再變。