【正文】 的影響 ， 它檢驗(yàn)的是分布 ， 不是參數(shù) ， 稱為非參數(shù)檢驗(yàn)（ nonparametric test） 。 本章介紹常用的秩轉(zhuǎn)換 （ rank transformation） 的非參數(shù)檢驗(yàn) ， 也稱秩和檢驗(yàn) （ rank sum test） ， 該類方法在非參數(shù)檢驗(yàn)中占有重要地位 。 秩轉(zhuǎn)換的非參數(shù)檢驗(yàn) 是首先將定量數(shù)據(jù)從小到大 ， 或等級(jí)從弱到強(qiáng)轉(zhuǎn)換成秩后 ， 再求秩和 ， 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 —秩統(tǒng)計(jì)量 ， 做出統(tǒng)計(jì)推斷 。 由于 秩統(tǒng)計(jì)量 的分布與原數(shù)據(jù)總體分布無(wú)關(guān) ， 具有較好的穩(wěn)健性 ， 可用于任何分布類型的資料 。 例如 ， 一端或兩端有不確定數(shù)值 （ 如 ,） 的資料 、 總體分布為偏態(tài)或分布不明的小樣本 （ 比如 n30） 資料 、 不滿足參數(shù)檢驗(yàn)條件的資料 、 等級(jí)資料等 。 如果已知其計(jì)量資料滿足 （ 或近似滿足 ）參數(shù)檢驗(yàn)條件的 ， 應(yīng)該選用參數(shù)檢驗(yàn)的方法 ， 因?yàn)榇藭r(shí)若選用秩轉(zhuǎn)換的非參數(shù)檢驗(yàn)的方法 ， 會(huì)降低檢驗(yàn)效能 。 第一節(jié) 配對(duì)設(shè)計(jì)和單樣本資料的符號(hào)秩和檢驗(yàn) 一、 配對(duì)設(shè)計(jì)資料的符號(hào)秩和檢驗(yàn) 配對(duì)設(shè)計(jì)計(jì)量資料兩處理效應(yīng)的比較 ，一般采用配對(duì) t檢驗(yàn) ， 如果差數(shù)嚴(yán)重偏離正態(tài)分布 ， 可采用 Wilcoxon秩檢驗(yàn) ，亦稱符號(hào)秩和檢驗(yàn) （ signed rank test） 。一般認(rèn)為 ， 在數(shù)據(jù)滿足配對(duì) t檢驗(yàn)要求時(shí) ， Wilcoxon秩檢驗(yàn)的功效是 檢驗(yàn) 效能的 95%左右 。 目的是推斷配對(duì)樣本差值的 總體中位數(shù) 是否和 0有差別，即推斷配對(duì)的兩個(gè)相關(guān)樣本所來(lái)自的兩個(gè)總體中位數(shù)是否有差別。方法步驟見(jiàn)例 81。 例 101 某研究者欲研究保健食品對(duì)小鼠抗疲勞作用 ，將同種屬的小鼠按性別和年齡相同 、 體重相近配成對(duì)子 ， 共 10對(duì) ， 并將每對(duì)中的兩只小鼠隨機(jī)分到保健食品兩個(gè)不同的劑量組 ， 過(guò)一定時(shí)期將小鼠殺死 ， 測(cè)得其肝糖原含量 （ mg/100g） ， 結(jié)果見(jiàn)表 101， 問(wèn)不同劑量組的小鼠肝糖原含量有無(wú)差別 ？ 表 10 1 不同劑量組小鼠肝糖原含量（ m g/ 100 g ） 小鼠對(duì)號(hào) 中劑量組 高劑量組 差值 d 秩次 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) = ( 3) ( 2) ( 5) 1 620 . 16 958 . 47 338 . 31 10 2 866 . 50 838 . 42 28. 08 5 3 641 . 22 788 . 90 147 . 68 8 4 812 . 91 815 . 20 2. 29 1. 5 5 738 . 96 783 . 17 44. 21 6 6 899 . 38 9 10. 92 1 1. 54 3 .5 7 760 . 78 758 . 49 2. 29 1 .5 8 694 . 95 870 . 80 175 . 85 9 9 749 . 92 862 . 26 112 . 34 7 10 793 . 94 805 . 48 11. 54 3. 5 ??T ??T 本例配對(duì)樣本差值經(jīng)正態(tài)性檢驗(yàn)，推斷得總體不服從正態(tài)分布 ，現(xiàn)用 W i l c o x o n 符號(hào)秩檢驗(yàn)。 0H ：差值的總體中位數(shù) 0dM ? 1H ： 0dM ? 0 . 0 5? ? 1. 建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水平 2. 求檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T值 ① 省略所有差值為 0的對(duì)子數(shù) ， 令余下的有效對(duì)子數(shù)為 n， 見(jiàn)表 101第 （ 4） 欄 ， 本例 n=10； ?檢驗(yàn)步驟 ?若多個(gè)差值為 0，可通過(guò)提高測(cè)量工具的精度來(lái)解決。 ② 按差值的絕對(duì)值從小到大編秩 ， 然后分別冠以正負(fù)號(hào) 。 遇差值絕對(duì)值相等則取 平均秩 ， 稱為相同秩 （ ties） （ 樣本較小時(shí) ， 如果相同秩較多 ，檢驗(yàn)結(jié)果會(huì)存在偏性 ， 因此應(yīng)提高測(cè)量精度 ， 盡量避免出現(xiàn)較多的相同秩 ） , 表 101第 （ 4） 欄差值的絕對(duì)值為 2個(gè) ， 其秩依次應(yīng)為 1， 2， 皆取平均秩為 ， 見(jiàn)表 101第 （ 5） . ③ 任取正秩和或負(fù)秩和為 T，本例取 T=。 3. 確定 P值，作出推斷結(jié)論 （ 1）查表法（ 時(shí)） ，查 T界值表（附表 9）， 判斷原則：內(nèi)大外小 。 本例 , n =1 0 ， T = 6 .5 ，查附表 9 ，得雙側(cè) ?p ，按 ?? 檢驗(yàn)水準(zhǔn)，拒絕 0H ?？梢哉J(rèn)為該保健食品的不同劑量對(duì)小鼠肝糖原含量的作用不同。 505 ?? n（ 2）正態(tài)近似法（ n50時(shí)） 超出附表 9范圍，可用正態(tài) 近似法作 u檢驗(yàn)。 TTTZ????4/)1( ?? nnT? 24/)12)(1( ??? nnnT?當(dāng) n不很大時(shí) ， 統(tǒng)計(jì)量 Z需要作如下的連續(xù)性校正： 24/)12)(1()1(?????????nnnnnTTZTT??若多次出現(xiàn)相持現(xiàn)象（如超過(guò) 25% ），用（ 10 3 ）式求得的 Z 值偏小，應(yīng)按公式（ 10 4 ）計(jì)算校正的統(tǒng)計(jì) 量值 Z c 。 48)(24)12)(1()1(3? ????????jjcttnnnnnTZ （ 10 4 ） 式中 t j 為第 j ( j =1,2 ? ) 次相持所含相同秩次的個(gè)數(shù)。如例 10 1 ，第 1 次相持，有兩個(gè)差值的 絕對(duì)值均為 ， 則 t 1 =2 ；第 2 次相持，有兩個(gè)差值 均為 1 ，則 t 2 =2 。于是， ??? )(3jjtt )()(232131tttt ??? ＝ (23 2) +( 23 2) =12 。 二、一組樣本資料的符號(hào)秩和檢驗(yàn) 若單組隨機(jī)樣本來(lái)自正態(tài)總體 ， 比較其總體均數(shù)與某常數(shù)是否不同 ， 可用檢驗(yàn)；若樣本來(lái)自非正態(tài)總體或總體分布無(wú)法確定 ， 也可用 Wilcoxon符號(hào)秩和檢驗(yàn) ， 檢驗(yàn)總體中位數(shù)是否等于某已知數(shù)值 。 例 102 已知某地正常人尿氟含量的中位數(shù)為 。今在該地某廠隨機(jī)抽取 12名工人，測(cè)得尿氟含量（ mmol/L），結(jié)果見(jiàn)表 102。問(wèn)該廠工人的尿氟含量是否高于當(dāng)?shù)卣Ｈ耍? m ol/L?表 10 2 12 名工人尿氟含量（ m m ol / L ）測(cè)定結(jié)果 尿氟含量 X 差值 d 秩次 2. 15 0 2. 10 0. 05 2. 5 2. 20 0. 05 2. 5 2. 12 0. 03 1 2. 42 0. 27 4 2. 52 0. 37 5 2. 62 0. 47 6 2. 72 0. 57 7 2. 99 0. 84 8 3. 19 1. 04 9 3. 37 1. 22 10 4. 57 2. 42 11 T+= 62. 5 T= 3. 5 由表 10 2 第 2 欄可計(jì)算觀察值與已知中位數(shù) ?0M m m o l / L 的差值 d , 其均數(shù)為 ?d ，標(biāo)準(zhǔn)差為 7 1 4 ?dS 對(duì)這些差值進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)， ?W ，?P ，因此，不滿足 t 檢驗(yàn)關(guān)于樣本來(lái)自正態(tài)分布的條件，該資料宜用W i l c ox on 符 號(hào)秩和檢驗(yàn)。 求差值 0 M x d i ? ? ，見(jiàn) 表 10 2 的第（ 2 ）欄。 檢驗(yàn)假設(shè) 0 H ：差值的總體中位數(shù)等于零，即 0 ) ( ? d Md 1 H ：差值的總體中位數(shù)不等于零，即 0 ) ( 箎 d Md 05 . 0 ? ? 3. 編秩 對(duì)差值的絕對(duì)值編秩，方法同上。 4 . 求正、負(fù)秩和并確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 本例， T + = ， T = ， T + 與 T 之和為 66 ，恰好等于 11 ( 11 +1)/2 ，表明秩和 的計(jì)算無(wú)誤；取 T = min( T + , T ) ＝ 。 5. 確定 P值并做出推斷結(jié)論 本例， n=11， T=，查配對(duì)設(shè)計(jì)用 T界值表，得P，按 α =水準(zhǔn)，拒絕，接受。可認(rèn)為該廠工人尿氟含量高于當(dāng)?shù)卣Ｈ恕? 第二節(jié) 完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)兩獨(dú)立樣本的秩和檢驗(yàn) 一、兩組連續(xù)變量資料的秩和檢驗(yàn) 例 103 在河流監(jiān)測(cè)斷面優(yōu)化研究中，研究者從某河流甲乙兩個(gè)斷面分別隨機(jī)抽取 10和15個(gè)樣品，測(cè)得其亞硝酸鹽氮 (mg/L)的含量如表 103，試比較甲乙兩個(gè)河流斷面亞硝酸鹽氮的含量有無(wú)差別？ . 表 10 3 某河流甲乙斷面亞硝酸鹽氮含量（ m g/ L ）監(jiān)測(cè)結(jié)果 河流甲斷面 河流乙斷面 亞硝酸鹽氮含量 秩次 亞硝酸鹽氮含量 秩次 亞硝酸鹽氮含量 秩次 0. 014 1. 0 0. 018 2. 5 0. 036 17. 0 0. 018 2. 5 0. 019 4. 0 0. 037 18. 0 0. 024 8. 5 0. 020 5. 0 0. 055 21. 0 0. 025 10. 5 0. 022 6. 0 0. 064 22. 5 0. 027 12. 0 0. 023 7. 0 0. 067 24. 0 0. 034 15. 0 0. 024 8. 5 0. 038 19. 0 0. 025 10. 5 0. 043 20. 0 0. 028 13. 0 0. 064 22. 5 0. 030 14. 0 0. 100 25. 0 0. 035 16. 0 n1= 10 T1= 13 6. 0 n2=1 5 T2= 189 . 0 本例兩樣本資料經(jīng)方差齊性檢驗(yàn)，推斷得兩總體方差不等 0H ： 甲乙兩河流斷面亞硝酸鹽氮含量的總體分布相同 1H ： 甲乙兩河流斷面亞硝酸鹽氮含量的總體分布不同 0 . 0 5? ? 檢驗(yàn) 步驟 求檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T值： ①把兩樣本數(shù)據(jù)混合從小到大編秩，遇數(shù)據(jù)相等者取平均秩； ②以樣本例數(shù)小者為1n ，其秩和（1T ）為 T ，若兩樣本例數(shù)相等，可任取一樣本的秩和（1T 或2T ）為 T ，本例T = 1 3 6 . 0 。 確定 P值，作出推斷結(jié)論： ? （ 1） 查表法 查 T界值表 （ 成組設(shè)計(jì)用 ） ， 先從左側(cè)找到 n1（ n1和 n2中的較小者 ） ， 本例為10；再?gòu)谋砩戏秸覂山M例數(shù)的差 （ n2n1） ， 本例 ， n2n1=5；在兩者交叉處即為 T的臨界值 。將檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T值與 T臨界值相比 ， 若 T值在界值范圍內(nèi) ， 其 P值大于相應(yīng)的概率；若 T值等于界值或在界值范圍外 ， 其 P值等于或小于相應(yīng)的概率 。 本例 , 概率為雙側(cè) T界值為 94～ 166； T= ， 故P；按 α = ， 不拒絕 H0 。 不能認(rèn)為某河流甲乙斷面亞硝酸鹽氮含量的總體分布的位置不同 。 若1 10n ?或21 10nn ??，超出附表 10 的范圍，可用正態(tài)近似法作 u 檢驗(yàn)，令12??n n N，按下式計(jì)算 u 值。 12)1()1(212121???????nnnnnnTZ若 Z超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值，則拒絕 。 0H上 式 用于無(wú)相持或相持不多的情形；若相持較多（比如超過(guò) 25% ），應(yīng)按下式進(jìn)行校正。 cZZc? （ 10 6 ） 其中， )/()(133NNttcjj???? ? ，jt 為第 j 次相持時(shí)相同秩次的個(gè)數(shù)，21nnN ??。 二、兩組有序變量資料的秩和檢驗(yàn) 例 104 某研究者欲評(píng)價(jià)新藥按摩樂(lè)口服液治療高甘油三脂血癥的療效 ， 將高甘油三脂血癥患者189例隨機(jī)分為兩組 ， 分別用按摩樂(lè)口服液和山楂精降脂片治療 ， 數(shù)據(jù)見(jiàn)表 104， 問(wèn)兩種藥物治療高甘油三脂血癥的療效有無(wú)不同 ？ 表 10 4 兩種藥物治療高甘油三