【正文】 ?－53＝－56n2＋1256n ＝－56 ??????n －2522＋3 12524. ∵ n ∈ N*， ∴ 當(dāng) n ＝ 12 或 13 時， Sn有最大值 ， 且最大值為 S12＝ S13＝ 1 30. 法三： 同法一求得 d ＝－53. 又由 S10＝ S15，得 a11＋ a12＋ a13＋ a14＋ a15＝ 0. ∴ 5 a13＝ 0 ，即 a13＝ 0. ∴ 當(dāng) n ＝ 12 或 13 時， Sn有最大值， 且最大值為 S12＝ S13＝ 1 30. ————— ————— ——————— ———————— —— ———————— —— —————— (2) 通項公式法：求使 a n ≥ 0( a n ≤ 0) 成立時最大的 n 值即可．一般地，等差數(shù)列 { a n } 中，若 a 1 0 ，且 S p ＝ S q ( p ≠ q ) ，則 ① 若 p ＋ q 為偶數(shù)，則當(dāng) n ＝p ＋ q2時， S n 最大； ② 若 p ＋ q 為奇數(shù)，則當(dāng) n ＝p ＋ q － 12或 n ＝p ＋ q ＋ 12時， S n最大． 求 等差 數(shù)列前 n 項和的最值的方法 (1) 運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合的思想，從而使問題得解； 3．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，已知 a3＝ 12， S120， S130. (1)求公差 d的取值范圍； (2)指出 S1， S2， … ， S12中，哪一個最大，并說明理由． 解 ： ( 1) 設(shè)數(shù)列首項為 a 1 ，公差為 d ，由題意可得， ????? S 12 ＝ 12 a 1 ＋12 12 ? 12 － 1 ? d 0 ，S 13 ＝ 13 a 1 ＋12 13 ? 13 － 1 ? d 0. 將 a1＝ a3－ 2 d ＝ 12 － 2 d 代入，得????? 24 ＋ 7 d 0 ，3 ＋ d 0 ， 即－247 d － 3. ( 2) 法一 ： Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝ ( 12 － 2 d ) n ＋n ? n － 1 ?2d ＝d2n2－??????52d － 12 n ，其中－247 d － 3. 由二次函數(shù)知識可得 S6最大． 法二 ： ∵ an＝ a1＋ ( n － 1) d ＝ 12 ＋ ( n － 3) d ， 由????? an≥ 0 ，an ＋ 1≤ 0 ，得????? 12 ＋ ? n － 3 ? d ≥ 0 ，12 ＋ ? n － 2 ? d ≤ 0. ∴－ 12d＋ 2 ≤ n ≤－ 12d＋ 3. 而－247 d － 3 ， ∴112 n 7. ∴ n ＝ 6. ∴ 前 6 項和 S6最大． 法三 ： 由 S13＝ 13 a70 ， S12＝ 6( a6＋ a7) 0 ， ∴ a70 ， a60. ∴ 前 6 項和 S6最大． 等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 [例 4] (1)(2022江門模擬 )等差數(shù)列 {an}前 17項和 S17＝ 51，則 a5－ a7＋ a9－ a11＋ a13等于 ________. (2)等差數(shù)列 {an}中，若 a1＋ a4＋ a7＝ 39， a3＋ a6＋ a9＝ 27，則前 9項的和 S9_____________. [ 自主解答 ] ( 1) 由于 S17＝a1＋ a172 17 ＝ 17 a9＝ 51 ，所以a9＝ 3. 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì) a5＋ a13＝ a7＋ a11，所以 a5－ a7＋ a9－ a11＋ a13＝ a9＝ 3. ( 2) 由等差數(shù)列的性質(zhì)及 a1＋ a4＋ a7＝ 39 ，可得 3 a4＝ 39 ，所以 a4＝ 13. 同理，由 a3＋ a6＋ a9＝ 27 ，可得 a6＝ 9. 所以 S9＝9 ? a1＋ a9?2＝9 ? a4＋ a6?2＝ 99. [答案 ] (1)3 (2)99 ————— ———————————— —————————————————————————— 在等差數(shù)列有關(guān)計算問題中，結(jié)合整體思想，靈活應(yīng)用性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量，達(dá)到事半功倍的效果 . 4． (1)(2022山西四校聯(lián)考 )在等差數(shù)列 {an}中， a1＋ a2＋ a3＝ 3， a18＋ a19＋ a20＝ 87，則此數(shù)列前 20項的和等_______. (2)(2022江西高考 )設(shè)數(shù)列 {an}， {bn}都是等差數(shù)列．若 a1＋ b1＝ 7， a3＋ b3＝ 21，則 a5＋ b5＝ _______. 法二 ： ∵ 2 a 3 ＝ a 1 ＋ a 5, 2 b 3 ＝ b 1 ＋ b 5 ， ∴ a 5 ＋ b 5 ＝ 2( a 3 ＋ b 3 ) － ( a 1 ＋ b 1 ) ＝ 2 21 － 7 ＝ 35. 答案： (1)300 (2)35 ( 2) 法一： 設(shè)數(shù)列 { a n } ， { b n } 的公差分別為 d 1 ， d 2 ，因?yàn)?a 3＋ b 3 ＝ ( a 1 ＋ 2 d 1 ) ＋ ( b 1 ＋ 2 d 2 ) ＝ ( a 1 ＋ b 1 ) ＋ 2( d 1 ＋ d 2 ) ＝ 7 ＋ 2( d 1＋ d 2 ) ＝ 21 ，所以 d 1 ＋ d 2 ＝ 7. 所以 a 5 ＋ b 5 ＝ ( a 3 ＋ b 3 ) ＋ 2( d 1 ＋ d 2 )＝ 21 ＋ 2 7 ＝ 35. 解析： ( 1) 依題意得 3( a 1 ＋ a 20 ) ＝ 90 ，即 a 1 ＋ a 20 ＝ 30 ，數(shù)列 { a n }的前 20 項的和等于20 ? a 1 ＋ a 20 ?2 ＝ 3 00. 2 種選擇 —— 等差數(shù)列前 n 項和公式的選擇 等差數(shù)列前 n 項和公式有兩個，如果已知項數(shù) n 、首項 a 1 和第 n項 a n ，則利用 S n ＝n ? a 1 ＋ a n ?2，該公式經(jīng)常和等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合應(yīng)用．如果已知項數(shù) n 、首項 a 1 和公差 d ，則利用 S n ＝ na 1 ＋n ? n － 1 ? d2，在求解等差數(shù)列的基本運(yùn)算問題時，有時會和通項公式結(jié)合使用． 1 個技巧 —— 利用等差數(shù)列的性質(zhì)妙設(shè)項 若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間三項為 a － d ， a ， a ＋ d ； 若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)中間兩項為 a － d ， a ＋ d ，其余各項再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對稱設(shè)元． 3 個結(jié)論 —— 等差數(shù)列前 n 項和 S n 的幾個結(jié)論 ( 1) 若等差數(shù)列 { a n } 的項數(shù)為偶數(shù) 2 n ，則 ① S 2 n ＝ n ( a 1 ＋ a 2 n ) ＝ ? ＝ n ( a n＋ a n ＋ 1 ) ； ② S 偶 － S 奇 ＝ nd ， S 奇S 偶＝a na n ＋ 1. ( 2) 若等差數(shù)列 { a n } 的項數(shù)為奇數(shù) 2 n ＋ 1 ，則 ① S 2 n ＋ 1 ＝ (2 n ＋ 1) a n＋ 1 ； ②S 奇S 偶 ＝n ＋ 1n . ( 3) 在等差數(shù)列 { a n } 中，若 a 1 0 ， d 0 ，則滿足????? a m ≥ 0 ，a m ＋ 1 ≤ 0的項數(shù)m 使得 S n 取得最大值 S m ；若 a 1 0 ， d 0 ，則滿足????? a m ≤ 0 ，a m ＋ 1 ≥ 0的項數(shù)m 使得 S n 取得最小值 S m . 4 種方法 —— 等差數(shù)列的判斷方法 ① 定義法； ② 等差中項法； ③ 通項公式法； ④ 前 n 項和公式法 . 數(shù)學(xué)思想 ——整體思想在數(shù)列中的應(yīng)用 利用整體思想解數(shù)學(xué)問題，就是從全局著眼，由整體入手，把一些彼此獨(dú)立但實(shí)際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法．有不少數(shù)列題，其首項、公差無法確定或計算繁瑣，對這類問題，若從整體考慮，往往可尋得簡捷的解題途徑． [典例 ] (2022鹽城模擬 )設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn＝ m，前 m項和 Sm＝ n(m≠n)則它的前 m＋ n項的和 Sm＋ n＝________. [ 解 ] 法一： 設(shè) { an} 的公差為 d ， 則由 Sn＝ m ， Sm＝ n ， 得????? Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝ m ， ①Sm＝ ma1＋m ? m － 1 ?2d ＝ n . ② ② － ① 得 ( m － n ) a1＋? m － n ?? m ＋ n － 1 ?2 d ＝ n － m ， ∵ m ≠ n ， ∴ a1＋m ＋ n － 12d ＝－ 1. ∴ Sm ＋ n＝ ( m ＋ n ) a1＋? m ＋ n ?? m ＋ n － 1 ?2d ＝ ( m ＋ n )??????a1＋m ＋ n － 12d ＝－ ( m ＋ n ) ． 法二： 設(shè) Sn＝ An2＋ Bn ( n ∈ N*) ， 則????? Am2＋ Bm ＝ n ， ③An2＋ Bn ＝ m ， ④ ③ － ④ 得 A ( m2－ n2) ＋ B ( m － n ) ＝ n － m . ∵ m ≠ n ， ∴ A ( m ＋ n ) ＋ B ＝－ 1. ∴ A ( m ＋ n )2＋ B ( m ＋ n ) ＝－ ( m ＋ n ) ， 即 Sm ＋ n＝－ ( m ＋ n ) ． [答案 ] － (m＋ n) ( 3) 本題的易錯點(diǎn)是， 不能正確運(yùn)用整體思想的運(yùn)算方法，不能建立數(shù)量間的關(guān)系，導(dǎo)致錯誤． ( 2) 整體思想是一種重要的解題方法和技巧，這就要求學(xué)生要掌握公式，理解其結(jié)構(gòu)特征． ( 1) 本題的兩種解法都突出了整體思想，其中法一把 a 1＋m ＋ n － 12d 看成了一個整體，法二把 A ( m ＋ n ) ＋ B 看成了一個整體，解起來都很方便． [題后悟道 ] 1 ．等差數(shù)列 { a n } ， { b n } 的前 n 項和分別為 S n ， T n ，若S nT n＝2 n3 n ＋ 1，則a nb n＝ _________. 解析： a nbn＝ 2 a n2 bn＝ a 1 ＋ a 2 n － 1b1 ＋ b 2 n － 1＝ S 2 n － 1T2 n － 1＝ 2 ? 2 n － 1 ?3 ? 2 n － 1 ? ＋ 1 ＝ 2 n － 13 n － 1 . [變式訓(xùn)練 ] 答案： 2 n － 13 n － 1 2．設(shè)等差數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，已知其前 6項和為 36， Sn＝ 324，最后 6項的和為 180(n6)，求該數(shù)列的 項數(shù) n及 a9＋ a10. 解：由題意知 a1＋ a2＋ a3＋ a4＋ a5＋ a6＝ 36， an＋ an－ 1＋ an－ 2＋ an－ 3＋ an－ 4＋ an－ 5＝ 180， ∴ 6(a1＋ an)＝ 36＋ 180＝ 216. ∴ a1＋ an＝ 36. 又 S n ＝ 324 ， ∴n ? a 1 ＋ a n ?2＝ 324 ， 即 n ＝2 32436＝ 18. ∴ a 9 ＋ a 10 ＝ a 1 ＋ a 18 ＝ 36. 1．已知數(shù)列 {an}的通項公式 an＝ pn2＋ qn(p， q∈ R，且 p， q為常 數(shù) )． (1)當(dāng) p和 q滿足什么條件時，數(shù)列 {an}是等差數(shù)列？ (2)求證：對任意實(shí)數(shù) p和 q，數(shù)列 {an＋ 1－ an}是等差數(shù)列． 解： (1)an＋ 1－ an＝ [p(n＋ 1)2＋ q(n＋ 1