【正文】 1 在接觸體 O 處的兩個(gè)主曲率半徑分別為 ?11 ， ?12 15 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 ?11= 1 ? R11 ? (212) 1 ? ?12 ? ? ? R12 ? 曲面體 2 上在接觸點(diǎn) O 處的兩個(gè)主曲率半徑分別為 ?21 ， ?22 ?21= 1 ? R21 ? (213) 1 ? ?22= ? ? R22 ? 在壓力作用下，接觸點(diǎn) O 附近發(fā)生變形，接觸區(qū)域變成橢 球區(qū)域，如圖 210 所示。在接觸區(qū)域內(nèi)，接觸應(yīng)力的大小是不同的。在 Z 軸上的接觸應(yīng)力最大，相 應(yīng)的變形也是最大的。其應(yīng)力分布為 q ? q max 1? x 2 ? y2 (214) a 2 a2 Z qmax q a b X Y 圖 210 接觸應(yīng)力分布圖 作用在接觸面的總壓力為 P，總壓力由曲面積分可以得到 P ? qdF (215) ?s 其積分相當(dāng)于橢球體的體積， 因此可以得到 P ? 2? abq max (216) 3 16 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 式中長軸 a 與短軸 b 的表達(dá)式為 ? a ? ? 3 Pm b ? ? 3 Pm ? n n ? 4 8 ? (217) m ? n ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 1? ? 2 ? ? 2 3 ? 1 ? ? ? E 1 E 2 ? ? ? ? ??11 ? ?12 ? 2 ? 2 ??11 ? ?12 ???21 ? ?22 ?cos 2? ? ??21 ? ?22 ? 2 ??? (218) ?? 其中 E1， E2 分別為兩個(gè)接觸體的彈性模量， ? 和 ? 分別是由 ? 決定的系數(shù)， ? 為兩個(gè)接觸體主平面的夾角。對于絲杠螺母副的接觸， ? 一般為 90176。 在沿 Z 軸方向的載荷作用下，兩個(gè)彈性接觸體在 Z 軸方向上發(fā)生彈性變形， 在 Z 軸方向發(fā)生的變形 ? p H ? 3 ? 1 ? ? 2 1? ? 2 ?? 2 ?? P2 / 3 ? p ? ? ? 1 ? ?? (219) ?W 2 E 1 E2 ? ? ?? 式中 P——過接觸點(diǎn)的法向壓力 ?? ——接觸區(qū)域主曲率之和 H、W——由 ? 值決定的橢圓積分 [51] ?1 、 ?2 ——兩個(gè)接觸體材料的泊松比 E1 、 E2 ——兩個(gè)接觸體材料的楊氏模量 滾珠與絲杠接觸的四個(gè)主曲率為 ?11=?12= 2 ； ?21 ??? 1 ； ?22 ? 2 cos ? cos? (220) db db? d 0 ? db cos? 其主曲率之和為 ? ?1 ? ?11 ? ?12 ? ?21 ? ?22 (221) 滾珠與螺母滾道接觸的四個(gè)主曲率為 ?11=?12= 2 ； ?21 ??? 1 ； ?22 ??? 2 cos ? cos? (222) db? db d 0 ? db cos? 其主曲率之和為 ? ?1 ? ?11 ? ?12 ? ?21 ? ?22 (223) 17 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 式中 db——滾珠的直徑 α——滾道與滾珠接觸壓力角 d0——滾珠絲杠的公稱直徑 ? ——絲杠的螺旋升角 ? —— 適應(yīng)度 (滾道曲率半徑與滾珠直徑之比 ) ?? 絲杠螺母副軸向剛度建模 先研究單個(gè)滾珠與絲杠螺母接觸的變形與載荷的關(guān)系。單個(gè)滾珠所受法向載 荷 FN 為 [48] FN ? Fa (224) sin ? cos ?z 其中 Fa 為絲杠所受的軸向載荷， z 為滾珠的個(gè)數(shù)，滾珠的個(gè)數(shù)可以由下式求得 ? d 0 (225) z ? i db cos? 將相應(yīng)參數(shù)代入式 (219)中即可得到法向接觸變形量的總大小 ? p ， ? p 由滾珠 與絲杠滾道的 接觸變形 ? 1 和滾珠與螺母滾道的接觸變形 ? 2 。滿足下式 ? p ? ?1 ?? 2 (226) 其中軸向的位移為 ? a ，由幾何關(guān)系可知 ? a 與 ? p 的關(guān)系 ? a ? ? p (227) sin ? cos? 為了消除絲杠反向間隙，提高運(yùn)動(dòng)精度，增加剛度，通常采用雙螺母預(yù)緊結(jié) 構(gòu)。其原理結(jié)構(gòu)如圖 211 所示。在預(yù)緊力為 F0 作用下，絲杠螺母副產(chǎn)生的法向 接觸力為 P0，絲杠螺母副產(chǎn)生預(yù)變形 ? 0 。在軸向載荷 Fa 作用下，滾珠與絲杠和 螺母 接觸法向接觸力發(fā)生變化分別為 PA 和 PB，由絲杠靜力平衡可得： Fa ? PAz sin ? cos ? ? PBz sin ? cos? ? 0 (228) 在 Fa 作用下，絲杠螺母副 A 的法向壓力增加，變形增大；絲杠螺母副 B 的 法向壓力減小，變形減小。由變形協(xié)調(diào)條件可知：絲杠螺母副 A 的變形在預(yù)變 形 ? 0 基礎(chǔ)上增加了 ? p ， 絲杠螺母副 B 的變形在預(yù)變形 ? 0 基礎(chǔ)上減小 ? p 。由式 (219)可知，接觸變形大小與法向載荷的 2/3 次冪成正比，滿足下面方程式 18 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 P 2 / 3 ? P 2 / 3 ? P 2 / 3 ? P2 / 3 (229) A 0 0 B Fa PA 絲杠 PB Fa 墊 片 螺母 A 螺母 B 圖 211 雙螺母預(yù)緊原理示意圖 由方程 (228)和 (229)聯(lián)立可以解得 PA 和 PB 的值，將 PA、 PB 和 P0 分 別代入 到方程 (219)中即可求得相應(yīng)變形量和 Fa 作用下引起的附加變形量 p，通過式 (227)可以求得 Fa 引起的軸向接觸變形，最終求得絲杠螺母副的軸向接觸剛度。 幾何參數(shù)及預(yù)緊對絲杠螺母副接觸剛度的影響 本節(jié)通過 MATLAB 仿真，研究接觸角 ? 、工作滾珠列數(shù) i、預(yù)緊力大小 F0， 軸向負(fù)載 Fa 對絲杠螺母副接觸剛度的影響。仿真計(jì)算用的絲杠螺母副參數(shù)（除 特殊說明外，預(yù)緊力均為 3000N）如表 22 所示。 表 22 絲杠螺母副相關(guān)參數(shù) 絲杠外徑 節(jié)圓直徑 滾珠直徑 導(dǎo)程 接觸角 適應(yīng)度 中空直徑 有效圈數(shù) d1 /mmDpw /mm Dw / mm Ph /mm ? / ? ? db0/mm i 50 51 10 45 15 由圖 212 可以看出 :絲杠螺母副軸向接觸剛度隨著接觸角增加而增加，基本 呈線性關(guān)系；圖 213 表示的是滾珠列數(shù)與軸向接觸剛度的關(guān)系，在其他條件一 定的情況下，隨著滾珠工作列數(shù)的增加，軸向接觸剛度的增加比較明顯 ，因此可 以通過適當(dāng)增加工作滾珠的列數(shù)增加剛度，同時(shí)也可以增加承載能力。 圖 214 是軸向接觸剛度與預(yù)緊力的關(guān)系。在預(yù)緊力的增加過程中，開始階 段剛度增加比較快，當(dāng)預(yù)緊力增加到一定程度時(shí)，剛度增加率減小，即剛度對于 預(yù)緊力的變化已經(jīng)不敏感了；圖 215 中所示的是在軸向負(fù)載作用下，剛度的變 化趨勢。隨著軸向載荷的增加，軸向接觸剛度有下降趨勢。不同預(yù)緊力下能夠承 受的最大軸向負(fù)載也是不同的，如果軸向載荷過大，其中一個(gè)螺母中的滾珠與滾 19 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng) 靜剛度匹配 道就會(huì)脫離接觸使得預(yù)緊失效。由式 (228)和式 (229)可以求得一定預(yù)緊力下所能 承受的最大軸向載荷。 滾珠絲杠副軸向接觸剛度N/靘)（ 絲杠螺 母副軸 向接觸 剛度N/靘)（ 接觸角（ /176。） 螺母工作滾珠的列數(shù) 圖 212 軸向接觸剛度與接觸角關(guān)系 圖 213 軸向接觸剛度與滾珠列數(shù)關(guān)系 預(yù)緊 3kN 預(yù)緊 4kN 絲杠螺母副軸向剛度（N/靘) 預(yù)緊 5kN 絲杠螺母副軸向剛度（N/靘) 預(yù)緊力（ N) 軸向載荷 (N) 圖 214 軸向接觸剛度與預(yù)緊力的關(guān)系 圖 215 軸向接觸剛度與載荷的關(guān)系 滾珠絲杠軸向靜剛度建模 滾珠絲杠的軸向剛度與絲杠兩端的支承方式有關(guān)。常用支承方式有一端固定 和兩端固定，如圖 216 所示。 20 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 x (a) 一端固定支承方式的絲杠 x L (b) 兩端固定支承方式的絲杠 0 216 滾珠絲杠主要的支承方式 一端固定支承的絲杠在距離固定端 x 處作用著軸向載荷 F，該處產(chǎn)生變形為 ?1 ?1 ? Fx (230) EA 式中 E——絲杠材料的彈性模量 A——絲杠的橫截面積 將式 (230)進(jìn)行形式變換即可得到軸向剛度 K 的表達(dá)式 K ? EA (231) x 兩端固定支承絲杠在距離左端固定端 x 處作用著軸向載荷 F(向右 )，支承跨 距為 L，該處產(chǎn)生的變形為 ?2 。求解變形 ?2 是一個(gè)超靜定問題。假設(shè)左端軸承 的支反力為 T1(假設(shè)向左 )，右端軸承的支反力為 T2(假設(shè)向左 )。則系統(tǒng)必滿足如 下平衡條件 T 1 ?T 2 ? F (232) 同時(shí)還需滿足變形協(xié)調(diào)條件，即載荷作用處左端的絲杠受拉，左端絲杠會(huì)伸 21 第二章 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)靜剛度匹配 長 ? 1 ，右端絲杠受壓，絲杠會(huì)縮短 ? 2 ，且 ?1 ? ? 2 ? ?2 ，滿足 T 1x ? T 2 ?L ? x? EA EA 聯(lián)立方程 (232)和 (233)可得 ? F ?L ? x? T 1 ? ? L ? ? Fx ? T 2 ? ? L ? 所以 ?2 ? F ?L ? x ? x ，兩端固定支承絲杠軸向剛度為 EAL K ? EAL x ?L ? x? 由 (231)可知，當(dāng) x=L/2 時(shí)，絲杠的剛度為最小值。 (233)