【正文】 , 說明 , 是兩事件設(shè) BA)( ABP, 相互獨立則稱事件 BA如果滿足等式 )()( BPAP?., 獨立簡稱 BA容易知道 , ,0)( ?AP若 ,0)( ?BP 相互則 BA ,., 互不相容不能同時成立獨立與 BA與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān) . 是指事件 A 的發(fā)生 2011 概率統(tǒng)計 教案 事件獨立性的性質(zhì)： 1）如果事件 A 與 B 相互獨立，而且 ? ? 0?AP? ? ? ?BPABP ?則2）必然事件 S與任意隨機事件 A相互獨立； 不可能事件 Φ與任意隨機事件 A相互獨立． 3)若隨機事件 A 與 B 相互獨立，則 BABABA 與、與、與 也相互獨立 . 2011 概率統(tǒng)計 教案 證：為方便起見，只證 BA 與相互獨立即可． 由于 ? ? ? ?ABBPBAP ??，由概率的可減性，得注意到 BAB ?? ? ? ? ? ?ABPBPBAP ??? ? ? ? ? ? ? ?的獨立性與事件 BABPAPBP ??? ?? ? ? ?BPAP?? 1 ? ? ? ?BPAP?相互獨立．與所以，事件 BA2011 概率統(tǒng)計 教案 注意： 在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進行計算。 2011 概率統(tǒng)計 教案 兩事件相互獨立 )()()( BPAPABP ?兩事件互斥 ??ABA,21)(,21)( ?? BPAP若.)()()( BPAPABP ?則例如 由此可見 兩事件 相互獨立， 但兩事件 不互斥 . 兩事件相互獨立與兩事件互斥的關(guān)系 . 請同學(xué)們思考 二者之間沒 有必然聯(lián)系 BAB2011 概率統(tǒng)計 教案 AB21)(,21)( ?? BPAP若.)()()( BPAPABP ?故由此可見 兩事件 互斥 但 不獨立 . ,0)( ?ABP則,41)()( ?BPAP2011 概率統(tǒng)計 教案 結(jié)論 : 設(shè)事件 A 與 B 滿足： 若事件 A 與 B 相互獨立，則 AB≠Φ；若 AB =Φ， 則事件 A 與 B 不相互獨立 . ? ? ? ? 0?BPAP證： 相互獨立，故與由于事件 BA? ? ? ? ? ? 0?? BPAPABP ??AB所以，若 AB =Φ，所以 ? ? ? ? 0??? PABP但是，由題設(shè) ? ? ? ? 0?BPAP? ? ? ? ? ?BPAPABP ?所以，這表明，事件 A 與 B 不相互獨立． 說明 : 互不相容與相互獨立不能同時成立。 2011 概率統(tǒng)計 教案 注意 三個事件相互獨立 三個事件兩兩相互獨立 3. 三事件相互獨立的概念 定義 , 是三個事件設(shè) CBA 如果滿足不等式? ?ABP ? ? ? ? ?BPAP? ?BCP ? ? ? ?CPBP? ?ACP ? ? ? ?CPAP? ?A B CP ? ? ? ? ? ?CPBPAP??????????., 相互獨立則稱事件 CBA2011 概率統(tǒng)計 教案 ,)()()()( 2121 kk iiiiii APAPAPAAAP ?? ?., 21 為相互獨立的事件則稱 nAAA ?n 個事件相互獨立 n個事件兩兩相互獨立 具有等式任意如果對于任意個事件是設(shè)　　,1,)1(,2121niiinkknAAAkn??????? ??推廣 2011 概率統(tǒng)計 教案 證明 )( )()( AP ABPABP ?)()( )()( BPAP BPAP ??.)()( BPABP ??幾個重要定理 , 是兩事件設(shè) BA ,0)( ?AP且 BA,若相互獨立 , .)()( BPABP ?則 反之亦然 . 2011 概率統(tǒng)計 教案 ,相互獨立與若事件 BA則下列各對事 件也相互獨立 . ,BA與 ,BA 與 .BA 與證 因為 A ? )( BBA ?? BAAB ?于是 )(AP ? )( BAABP ?? )()( BAPABP ?? )()( BPAP )( BAP?)( BAP ? )](1)[( BPAP ?? )()( BPAP.相互獨立與因此 BA .獨立與由此可立即推出 BA,BB ?再由 .相互獨立與又推出 BA2011 概率統(tǒng)計 教案 兩個推論 1。 ,)2(, 21 相互獨立若事件 ?nAAA n?1A則將們各自的對立事中任意多個事件換成它nAA ,2 ?件 , .個事件仍相互獨立所得的 n2。 .)2( 個事件也是相互獨立其中任意 nkk ??,)2(, 21 相互獨立若事件 ?nAAA n?則 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 1 ,“ 乙兩枚硬幣拋甲為設(shè)試驗 E觀察正反面 出現(xiàn)的情況” . ,”“ HA 甲幣出現(xiàn)為設(shè)事件 B事件.”“ H乙?guī)懦霈F(xiàn)為 的樣本空間為ES ? .},{ TTTHHTHH)(AP ? 42 ? ,21 )(BP ? 42 ? ,21 )( ABP ? ,21 )( ABP ? .41,)()( BPABP ?所以 )( ABP )()( BPAP?由題意 , 甲幣是否出現(xiàn)正面與乙?guī)攀欠癯霈F(xiàn) 正面是互不影響的 . 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 2 一個元件 (或系統(tǒng) )能正常工作的概率稱為元件 (或系統(tǒng) )的可靠性 . 如下圖 , 設(shè)有 4個獨立工作的元 件 1,2,3,4按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式聯(lián)接 . 個元件設(shè)第 i),4,3,2,1( ?ip i的可靠性為 試求系統(tǒng)的可靠性 . 1 23 42011 概率統(tǒng)計 教案 故有 A 21AA .43 AA??由事件的獨立性 , 得系統(tǒng)的可靠性 )(AP )( 21 AAP )( 43 AAP? )( 4321 AAAAP??? )()( 21 APAP )()( 43 APAP? )()()()( 4321 APAPAPAP?? 21pp 43 pp? .4321 pppp?解 個元件正常工第表示事件以 iiA i “)4,3,2,1( ?作” , .”“ 系統(tǒng)正常工作表示事件以 A系統(tǒng)由兩條線路 I和 II組成 . 當(dāng)且僅當(dāng)至少有一 條線路中兩個元件均正常工作時 , 系統(tǒng)才正常工作 , 2011 概率統(tǒng)計 教案 例 3 要驗收一批 (100件 )樂器 . 驗收方案如下 : 自該批樂器中隨機地取 3件測試 (設(shè) 3件樂器的測試 是相互獨立的 ), 如果 3件中至少有一件在測試中被 認(rèn)為音色不純 , 則這批樂器就被拒絕接收 . 設(shè)一件 音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率 為 。 而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純 的概率為 . 如果已知這 100件樂器中恰有 4件是 音色不純的 . 試問這批樂器被接收的概率是多少 ? 2011 概率統(tǒng)計 教案 ,樂器3210 , HHHH ,的一個劃分是 S.“ 這批樂器被接收”表示事件以 A已知一件音色 純的樂器 , 經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概 率為 , 而一件音色不純的樂器 , 經(jīng)測試被認(rèn)為 音色純的概率為 , 并且三件樂器的測試是相互 獨立的 , 于是有 )( 0HAP ,)( 3? )( 1HAP ? ,)( 2 ?,”件音色不純其中恰有 i解 件隨機地取出“表示事件設(shè)以 3 )3,2,1,0( ?iH i2011 概率統(tǒng)計 教案 )( 0HP ,3100396 ????????????? )(1HP ,31 0 029614 ???????????????????)( 2HP ,31 0 019624 ??????????????????? )( 3HP .31 0 034 ?????????????故 )(AP )()(30iiiHPHAP??? ????? .而 )( 2HAP ? ,)( 2? ( 3HAP ? ,)( 32011 概率統(tǒng)計 教案 例 4 甲 、 乙兩人進行乒乓球比賽 , 每局甲勝的概率 ,p為 .21?p 問對甲而言 , 采取三局兩勝制有利 , 還是五局三勝制有利 . 設(shè)各局勝負(fù)相互獨立 . 解 , 甲最終獲勝采用三局二勝制:勝局情況可能是“甲甲 ” , “乙 甲甲 ” , “甲 乙 甲 ” 。 ,容由于這三種情況互不相:獲勝的概率為于是由獨立性得甲最終).1(2 221 pppp ???2011 概率統(tǒng)計 教案 3, 至少需比賽甲最終獲勝采用五局三勝制,局, 比賽四局例如 :則甲的勝局情況可能是“甲 乙 甲甲 ” , “乙 甲甲甲 ” , “甲甲 乙 甲 ” 。 ,容由于這三種情況互不相:, 甲最終獲勝的概率為在五局三勝制下.)1(24)1(23 23332 pppppp ?????????????????:于是由獨立性得., 局而前面甲需勝二且最后一局必需是甲勝2011 概率統(tǒng)計 教案 )312156( 23212 ????? pppppp由于.)12()1(3 22 ??? ppp。,21 12 ppp ?? 時當(dāng) .21,21 12 ??? ppp 時當(dāng).,21 制有利對甲來說采用五局三勝時故當(dāng) ?p.21,21都是相同的概率是兩種賽制甲最終獲勝的時當(dāng)