五、習(xí)題選解-資料下載頁
2024-10-12 12:35本頁面
【導(dǎo)讀】解被積函數(shù)含有，令x=asint，對第二項(xiàng)中的積分再用一次分部積分公式，解本題應(yīng)該先用換元積分法，令，利用初始條件求C，兩邊同時積分lnsiny=–lncosx+C1，是原微分方程的通解.解一階線性微分方程.p=–2，q=ex，解先解對應(yīng)的齊次方程xy´–2y=0，
【正文】 xxxxCC???? ? ??23π2π( 3 ) 2 c o s .4xx y y x x y?? ? ? ?，解 先解對應(yīng)的齊次方程 xy180。 – 2y = 0， 分離變量得 d 2 dyxyx? ，兩邊同時積分 ln y = 2 lnx + C1， 得到 y = Cx2 . 設(shè) y = ux2 是原非齊次方程的解，代入原方程 xu180。x2 + 2ux2 – 2ux2 = x3cos x ， 化簡，得 u180。= cos x， 于是，得到 u = sin x + C. 代入 y = ux2，得到 y = x2sin x + Cx2 是非齊次方程的通解 . 將初始條件代入通解， 2 2 2π π π4 4 4C ?? ，得 C = 0，原微分方程在給定初始條件下的特解是 y = x2 sin x. 14. 已知某產(chǎn)品的利潤 L 是廣告支出的函數(shù)，且滿足 d ( ) ( 0 0 )dL b a L x a bx ? ? ? ? ?， ， 常 數(shù)當(dāng) x = 0 時， L(0) = L0 ，求利潤函數(shù) L(x). 解 原方程變形為 dd L a L b a xx ? ? ? ，這是一個一階線性微分方程，由通解公式得 dde ( ( ) e d )e ( ( e e ) d )e e d ea x a xax ax axax ax axL b ax x Cb ax x Cbax x Ca??????? ? ?? ? ?? ? ????其中第二個積分用分部積分法求 e d dee e d1e e .ax axax axax axax x xxxxCa???? ? ????于是 代入初始條件 L(0) = L0 得 1 x Caa ?? ? ? ?01bCLa??? ，所以特解是 011( ) e .axbbL x Laa ???? ? ? ?
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