【正文】 1321413,21212 xxxxxxxx???????====?得到通解： 基礎(chǔ)解系為： ??????????????=212/11? 二、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu) ? 性質(zhì) . 若 ?1, ?2 是非齊次線性方程組 AX = ? 的解，則 ?1 ? ?2 是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 AX = 0 的解 ． ? 證明： A(?1 ? ?2 ) = A?1 ? A?2 = ? ? ? = 0 ． ? 性質(zhì) . 若 ?* 是非齊次線性方程組 AX = ? 的解 ,x 是 對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 AX = 0 的解，則 x + ?* 還 是 AX = ? 的解 ． ? 證明： A(x + ?* ) = Ax + A?* = 0 + ? = ? ． ?齊次線性方程組 AX=0有基礎(chǔ)解系，非齊次線性方程組有沒有基礎(chǔ)解系呢？ ? 若 ?1, ?2 是非齊次線性方程組 AX = ? 的解，那么 ?1 + ?2 是不是該非齊次線性方程組的解呢？ ? 不是！ ?只有齊次線性方程組 AX=0才 有基礎(chǔ)解系的概念， 非 齊次線性方程組 沒有 基礎(chǔ)解系的概念！ ? 若 ?* 是 AX = ? 的一個(gè)解， 設(shè) R(A) =r n ， n 元齊次線性方程組 AX = 0 的通解為x = c1x1 + c2x2 + … + rxnr， 則 AX = ? 的 通解 為： x = c1x1 + c2x2 + … + rxnr +?* AX = ? 的特解 AX = 0 的通解 ? 以上我們討論的是當(dāng)線性方程組 AX = ? 有解時(shí)，其解的性質(zhì)， 問題 是該方程組是不是一定有解呢？ ? 如果不是，什么時(shí)候無解，什么時(shí)候有解？ ?證明： ? ?可由 A的列向量組 a1 ,a2 ,… an線性表出 設(shè)方程組 AX=?的系數(shù)矩陣 A的秩為 r, 設(shè) r個(gè)列向量 ak1,ak2,…, akr是它的一個(gè)極大無關(guān)組。 ? 向量組 ak1,ak2,…,a kr,? 與向量組 a1,a2,… ,ar的秩相等 ? ( ) ( )R A R A=非齊次線性方程組 AX=?有解的充要條件是： 系數(shù)矩陣 A 的秩等于增廣矩陣的秩，即 ?定理 ( ) ( )R A R A=? ?可由 A的列向量組 ak1 ,ak2 ,… akr線性表出 ? 向量組 a1,a2,…,a n,? 與向量組 a1,a2,… ,an的秩相等 方程 AX=?有解 ?線性方程組的解的判定： 1. 包含 n 個(gè) 未知數(shù) 的齊次線性方程組 AX = 0 有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) n ． 2. 包含 n 個(gè) 未知數(shù) 的非齊次線性方程組 AX = ? 有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩 R(A) = R(A, ?)，并且 ? 當(dāng) R(A) = R(A, ?) = n 時(shí)，方程組有唯一解； ? 當(dāng) R(A) = R(A, ?) n 時(shí)，方程組有無限多個(gè)解 ． ? 若方程的未知數(shù)的個(gè)數(shù) 等于 方程的個(gè)數(shù)，則 |A|≠0時(shí)，方程組有唯一解； |A|=0時(shí)， 當(dāng) R(A) = R(A, ?) 時(shí)，方程組有無限多個(gè)解 ， 當(dāng) R(A) ≠ R(A, ?) 時(shí)，方程無解。 1 2 31 2 31 2 321( 1 ) 4 2 2 32 2 1x x xx x xx x x+ =?? =?? + + =??例 ?解法一 ： （ 1）因?yàn)樵鰪V矩陣 2 1 1 14 2 2 32 2 1 1A????= ????111 0 01610 1 0410 0 18????????????初等 行變換 12311161418xxx?????? ???? ??=?? ???? ??????????R(A)=R(A)=3(未知數(shù)的個(gè)數(shù) ), 故方程有唯一解： ?????=+=+=+.2132,13,0)2(432143214321xxxxxxxxxxxx??????????=2132111311101111A,00000212100211011????????????????????2121001420001111?解 ： 因?yàn)樵鰪V矩陣 ??R(A)=R(A)=24,故方程有無窮多解。 ???+=++=.212,2143421xxxxx 即為： 原方程組的同解方程組為： ??????????????????+++=??????????????44242432121221xxxxxxxxx得到原方程組的通解： (k1,k2為任意常數(shù) ) ??????????????????+++=??????????????22121432121221kkkkkxxxx??????????????????+??????????????+??????????????=0210211201001121kk取 x2=k1,x4=k2， ??????????????????+++=??????????????44242432121221xxxxxxxxx令 k1=k2=0即得原方程組的一個(gè)特解： ??????????????????=021021*?1 2 31 2 31 2 321( 3 ) 4 2 2 321x x xx x xx x x+ =?? =?? + + =??解 ： （ 3）因?yàn)樵鰪V矩陣 2 1 1 14 2 2 32 2 1 1A????=????1110220 0 1 00 0 0 1??????????初等 行變換 同解方程組為： 1 2 331 2 31102200 0 0 1x x xxx x x?+ + =??=?? + + =??? 因?yàn)?2=R(A) ≠ R(A, ?)=3 ，故方程無解。 ?這個(gè)例子對(duì)應(yīng)著三種情況： ( ) ( ) (R A R A n== 未 知 量 的 個(gè) 數(shù) ）( ) ( ) (R A R A n= 未 知 量 的 個(gè) 數(shù) ）(i) 當(dāng) 方程組有唯一解； (ii)當(dāng) 方程組有無窮多解。 時(shí)， 時(shí)， ?下面總結(jié)一下求解非齊次線性方程組的方法。 (ⅲ ) 當(dāng) ( ) ( )R A R A?時(shí)，方程組無解 。 ?非齊次線性方程組的通解的求法： （ 1）對(duì)系數(shù)矩陣 A的增廣矩陣 進(jìn)行初等行變換，將其化為階梯陣， （ 2）分別求出系數(shù)矩陣、增廣矩陣的秩，若兩者 不等 則方程 無解 ；若兩者 相等 ，則把增廣矩陣化為 最簡形矩陣 ，就可以寫出其通解。 167。 n維向量空間 ? 定義 . 設(shè) V 是 n 維向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 對(duì)于向量的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算封閉， ? 若 a ∈ V, b ∈ V，則 a + b ∈ V. （對(duì)加法封閉） ? 若 a ∈ V, l ∈ R，則 l a ∈ V .（對(duì)乘數(shù)封閉） 那么就稱集合 V 為 向量空間 ． ? 定義 . 設(shè)有向量空間 V ，如果在 V 中能選出 r 個(gè)向量 a1, a2, …, ar，滿足 ① a1, a2, …, ar 線性無關(guān)； ② V 中任意一個(gè)向量都能由 a1, a2, …, ar 線性表示； 那么稱向量組 a1, a2, …, ar 是向量空間 V 的一個(gè) 基 ．?dāng)?shù) r 稱為向量空間 V 的 維數(shù) ，并稱 V 為 r 維 向量空間． .)(AN?由齊次線性方程組解的兩個(gè)性質(zhì)可知， 的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組 的 解空間 ．一般記作 0=AX0=AX?解空間 N(A)的一個(gè)極大線性無關(guān)組，就是 AX=0的基礎(chǔ)解系 . 解空間 解空間的基 解空間的維數(shù) AX = 0 的解的集合 基礎(chǔ)解系 n ? R(A) 解向量組 解向量組的最大無關(guān)組 解向量組的秩 ?定義 . 設(shè) a1,a2,…, an是數(shù)域 F上線性空間 Vn的一組基 ,任取 a?Vn,則 a可由 a1,a2,…, an唯一地線性表示 ,即存在唯一的一組數(shù) x1,x2,…,x n?F,使得 ? ?12121, , , ,ni i ninxxxxa a a a a=??????= = ? ? ????????則稱有序數(shù)組 12( , , , )nx x x???為向量 a在基 12 na a a， ， ，下的坐標(biāo) . ( 3 , 2 , 1 ) Ta = ? ?1 1 , 0 , 0 T? = ? ?2 1,1, 0 T? =? ?3 1 , 1 , 1 T? =?例 : 在基 ， 以及 下的坐標(biāo)。 ??????????=++=321321332211 )(xxxxxx ??????a?解 :設(shè) ????????????????????=321100110111xxx??????????+++=332321xxxxxx??????????=123故 a 在基 ?1 , ?2 , ?3 下的坐標(biāo)為 (1,1,1). ??????????=???????????111321xxxP9118 請(qǐng)寫出理由，如果是基的話，請(qǐng)求出向量 在此基 下的坐標(biāo)。 )1,3,6( 作業(yè)： P90919,13(1), 15