【正文】 B), 但當(dāng) A的發(fā)生對(duì) B的發(fā)生沒有影響時(shí) ,有 P(B|A)=P(B)。 167。 7 獨(dú)立性 由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 2022/1/4 79 例 1. 設(shè)袋中有 a只紅球和 b只白球 (b≠0),今從袋 中取兩次球 ,每次各取一球 ,分為放回和不放回 兩種情況 . 記 : A—“第一次取得的是紅球” , B—“第二次取得的是紅球” 1. 有放回時(shí) : ,)( ba aAP ?? ,)( ba aBP ??)|( ABP ),( BPbaa ???所以 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 2022/1/4 80 ),(11)( )()|( BPba aAP ABPABP ????得到2. 不放回時(shí) : ,)( ba aAP ?? ,)1)(()1()(?????babaaaABP,)1)(()( ???? baba baBAP,)()()( ba aBAPABPBP ????).()()( BPAPABP ?從而2022/1/4 81 定義 1: 設(shè) A,B是兩事件 ,如果滿足等式 P(AB)=P(A)P(B), 則稱 事件 A與事件 B是相互獨(dú)立的事件， 簡(jiǎn)稱 A,B獨(dú)立 . A AB B S 必然事件 S和不可能事件 與任何事件 A 都獨(dú)立 ?2022/1/4 82 定理： 如果事件 A,B相互獨(dú)立，且 P(B)0,則 P(A|B)=P(A),反之亦然 . 證 ： 由條件概率及上式定義得 ).()( )()()( )()|( APBP BPAPBP ABPBAP ???A AB B S 2022/1/4 83 .也相互獨(dú)立與 ,與 ,與則相互獨(dú)立,若BABABABA , )1 ABABA ??(:證 明?? )( BAP )()( ABPAP ?)()()( BPAPAP ??))()(1( BPAP?).()( BPAP?.相互獨(dú)立與故 BAA B AB S 定理 2022/1/4 84 例 2 甲、乙兩射手向同一目標(biāo)各射擊一次 ,甲 擊中目標(biāo)的概率為 ，乙擊中目標(biāo)的概率為 ，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。 解 記 A:“甲擊中目標(biāo)”， B:“乙擊中目標(biāo)” C:“目標(biāo)被擊中” ,這里可認(rèn)為事件 A,B獨(dú)立 ,則 )()()( )()(ABPBPAPBAPCP?????)()()()(???????? BPAPBPAP2022/1/4 85 定義 2: 設(shè) A,B,C是三個(gè)事件 ,若滿足 : P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 則稱 A,B,C為相互獨(dú)立的事件 . 定義 3：對(duì) n個(gè)事件 A1,A2,…, An,如果對(duì)所有可 能的組合 1≤ijk…≤ n成立著 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) ? P(A1A2… An)=P(A1)P(A2)… P(An), 則稱這 n個(gè)事件 A1,A2,… ,An相互獨(dú)立 . 2022/1/4 86 推論 ： 1. 如果 A1,A2,… ,An相互獨(dú)立，那么其 中任意 m個(gè)事件也相互獨(dú)立 . 2. 如果 A1,A2,… ,An相互獨(dú)立，則將其中任 意個(gè)事件換成其逆事件后也相互獨(dú)立 . . , , 0,)( 0,)( .3互不相容不能同時(shí)成立相互獨(dú)立與則BABABPAP ??3 : , ( ) ( ) ( ) 0, , , ( ) 0 ,! , .A B P A B P A P BA B A B P A BAB??? ? ?證 由 獨(dú) 立 知若 互 不 相 容 則 有 從 而矛 盾 所 以 獨(dú) 立 與 不 相 容 不 能 同 時(shí) 成 立2022/1/4 87 注意： 1. 前面三個(gè)式子表明 A, B, C三事件兩 兩獨(dú)立 ,并不能說 A, B, C三事件相互獨(dú)立 . 定義 4：設(shè) A1, A2, …, An是 n個(gè)事件，如果對(duì) 任意的 1≤ij ≤ n有 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 則 稱這 n個(gè)事件 兩兩獨(dú)立 . 2. 若 n個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這 n個(gè)事件 兩兩相互獨(dú)立 , 反之不真。 2022/1/4 88 例 3 一均勻正四面體 ,第一、二、三面分別染成紅白黑三色 ,第四面染上紅白黑三色 .現(xiàn)以分別 A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的事件 ,則由于四面體中有兩面有紅色 , 同理 P(B)=P(C)=1/2,容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以 A,B,C兩兩獨(dú)立 ,但是 P(ABC)=1/4?1/8=P(A)P(B)P(C) 因此 P(A)=1/2 2022/1/4 89 例 4 假若每個(gè)人血清中有肝炎病毒的概率為 %,混合 100個(gè)人的血清，求此血清中含有 肝炎病毒的概率 . 解 以 Ai(i=1,2,…100) 記“第 i個(gè)人的血清含有 肝炎病毒” ,顯然 Ai相互獨(dú)立的 .所求概率為 )()(1)(1)(10 010 0110 02110 01?????????APAPAAAPAAPLLL雖然每個(gè)人有病毒的概率很小 ,但是混合后則有很大概率 . 2022/1/4 90 例 5. 設(shè)有 8個(gè)元件 ,每個(gè)元件的可靠性均為 p(元件能 正常工作的概率 ), 按如下兩種方式組成系統(tǒng) , 試比 較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性 . A1 B1 A2 B2 B3 B4 A3 A4 系統(tǒng)二 :先并聯(lián)后串聯(lián) 系統(tǒng)一 :先串聯(lián)后并聯(lián) A1 B1 A2 B2 A3 B3 A4 B4 2022/1/4 91 解 : 用 Ai, Bi, 表示如圖中諸元件能正常工作 的事件 , i=1, 2, 3, 4. C1, C2表示系統(tǒng)一、二可靠的事件 . 則 C1=(A1A2A3A4)∪ (B1B2B3B4) C2=(A1∪ B1) (A2∪ B2) (A3∪ B3) (A4∪ B4) 于是 P(C1)=P(A1A2A3A4)+P(B1B2B3B4) P(A1A2A3A4B1B2B3B4) =p4+p4p8=p4(2p4), 2022/1/4 92 P(C2)=P(A1∪ B1)P (A2∪ B2) P(A3∪ B3) P(A4∪ B4) =(p+pp2 )4=p4(2p)4, 當(dāng) 0p1時(shí) ,顯然有 p4(2p)4 p4(2p4), 所以 P(C2)P(C1). 一般地 2n個(gè)元件組成以上兩個(gè)系統(tǒng) , P(C1)=pn(2pn), P(C2)=pn(2p)n,所以有 P(C2)P(C1). (0p1) 167。 8 獨(dú)立試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)） ? 在實(shí)際中經(jīng)常碰到這一類試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，這種概型成為伯努利試驗(yàn)。例如，檢驗(yàn)一件產(chǎn)品的質(zhì)量看其是合格品還是次品；射擊一次的結(jié)果擊中或未擊中；考試一次是否通過；等等；有些試驗(yàn)的結(jié)果雖然不只有兩個(gè)，但有時(shí)人們?cè)诒姸嗟慕Y(jié)果中只關(guān)心其中一個(gè)事件 ，而把其余情況都?xì)w結(jié)為 ，這樣又把此試驗(yàn)變成伯努利試驗(yàn) ? 將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行 n次，稱為 n重伯努利試驗(yàn) 2022/1/4 93 AA2022/1/4 94 ( 0 1 )( 1 ) ( 0 , 1 , 2 , .. ., )k k n knA p pn A kC p p k n?????設(shè) 在 一 次 伯 努 利 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 發(fā) 生 的 概 率 為 ，則 在 重 伯 努 利 試 驗(yàn) 中 ， 發(fā) 生 次 的 概 率 為106例 一 張 試 卷 上 有 道 四 選 一 的 單 項(xiàng) 選 擇 題 ， 某 同 學(xué) 投 機(jī) 取 巧 ，隨 意 選 答 案 ， 試 問 他 至 少 答 對(duì) 道 題 的 概 率 有 多 大 ？101010610 611( ) ( ) ( 1 ) 197 34410 6k k kkP B C??? ? ??解 ： 這 是 重 伯 努 利 試 驗(yàn) ， 設(shè) 事 件 B 表 示 “ 至 少 答 對(duì) 道 題 ” ，則由 實(shí) 際 推 斷 原 理 可 知 （ 小 概 率 事 件 在 一 次 試 驗(yàn) 中 幾 乎 不 會(huì) 發(fā) 生 ）能 在 道 題 中 答 對(duì) 道 題 以 上 可 能 性 極 小2022/1/4 95 練習(xí)題 1., 2 ) ( ) ( )ABA B B A B A B A B A?對(duì) 任 意 隨 機(jī) 事 件 、 ， 試 證 明1) （ ） =1 1 1 12. ( 1 , 2 , , )1 , 2)in n n ni i i ii i i iA i nA A A A? ? ? ????設(shè) 均 為 隨 機(jī) 事 件 ， 試 證 明 ：）2022/1/4 96 3. mnm n mn??設(shè) 有 個(gè) 球 ， 其 中 一 個(gè) 是 黑 球 ， 一 個(gè) 是 白 球 ，其 余 都 是 紅 球 。 把 這 個(gè) 球 任 意 地 放 入 個(gè) 袋 中 ，每 袋 放 個(gè) 球 。 求 黑 球 與 白 球 恰 在 同 一 袋 中 的 概 率 。4. nn設(shè) 甲 擲 均 勻 硬 幣 +1 次 ， 乙 擲 次 ， 求 甲 擲 出 正面 的 次 數(shù) 多 于 乙 擲 出 正 面 的 次 數(shù) 的 概 率 。 （ 用 逆 事 件 ）5.? ? ? ?甲 、 乙 兩 個(gè) 比 賽 射 擊 ， 每 回 射 擊 勝 者 得 1 分 。 每 回 射 擊 中 甲勝 的 概 率 為 ， 乙 勝 的 概 率 為 （ + =1 ） 。 比 賽 進(jìn) 行 到 有 一 人比 對(duì) 方 多 2 分 為 止 ， 多 2 分 者 最 終 獲 勝 。 求 甲 最 終 獲 勝 的 概 率 。（ 用 條 件 概 率 公 式 ）6. n 對(duì) 夫 婦 任 意 地 排 成 一 列 ， 求 每 一 位 丈 夫 都 排 在 他 的妻 子 后 面 的 概 率 。 （ 獨(dú) 立 性 、 對(duì) 稱 性