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2024-11-03 18:40本頁面
【正文】 ) = {a,a, a,b, a,c, a,d, b,a, b,b, b,c, b,d, c,d} 2021年 12月 1日星期三 等價(jià)關(guān)系與劃分 23. 設(shè)集合 A={1,2,3,4,5}， 求 A上的一個(gè)劃分{{1,2},{3},{4,5}}的等價(jià)關(guān)系，并畫出關(guān)系圖： 解： R = ({1,2} {1,2}) ? ({3} {3}) ? ({4,5} {4,5}) = {1,1, 1,2, 2,1, 2,2, 3,3, 4,4, 4,5,5,4,5,5} 1 2 3 4 5 2021年 12月 1日星期三 等價(jià)關(guān)系與劃分的對(duì)應(yīng)關(guān)系 已知 Π={{a}{b,c}}是 A={a,b,c}的一個(gè)劃分，由Π決定的 A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系是 。 2021年 12月 1日星期三 等價(jià)關(guān)系的證明 20. 設(shè) R和 S是非空集合 A上的等價(jià)關(guān)系，試確定下面各式是否為等價(jià)關(guān)系。若是則證明之，若不是則舉例說明： 3) R2 證明： 1) 對(duì)于 ? x ? A， 有 xRx。 因此有 xR2x， 故 R2是自反的 2) 對(duì)于 ? x, y? A， 若有 xR2y， 則必存在 z ? A， 有 xRz, zRy， 因?yàn)?R是對(duì)稱的，所以必定有： yRz, zRx， 即有 yR2x 。 也就是說：若有 xR2y， 則必有 yR2x， 故 R2是對(duì)稱的 3) 對(duì)于 ?x,y,z ? A， 若有 xR2y, yR2z， 則 ? a,b ? A， 有： xRa和 aRy 以及 yRb和 bRz， 因?yàn)?R是傳遞的，所以必定有： xRy, yRz。 則若有 xR2y, yR2z， 必有 xR2z， 故 R2是傳遞的 。 ∴ R2是等價(jià)關(guān)系 是 。 2021年 12月 1日星期三 等價(jià)關(guān)系的證明 21. 設(shè) R是 A上的二元關(guān)系，對(duì)于 ?a, b, c ? A， 若 aRb, bRc， 則 cRa， 稱 R是 循環(huán)的 。 求證： R是自反的和循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng) R是等價(jià)關(guān)系 證明： 1) 若 R是等價(jià)關(guān)系 ，則 R是自反的 、對(duì)稱的和傳遞的。 對(duì)于 ?a, b, c ? A， 若 aRb, bRc， 因?yàn)?R是傳遞的，所以有 aRc 又因?yàn)?R是對(duì)稱的，所以有 cRa。 所以 R是循環(huán)的 2) 若 R是 自反的 和循環(huán)的 ， 則對(duì)于 ?a, b, c ? A， 若 aRb, bRc， 則 cRa 因?yàn)?R是自反的，所以有 aRa， 所以有 aRc， 所以 R是傳遞的 若有 aRb， 因?yàn)橛?bRb， 則有 bRa， 所以 R是對(duì)稱的 ，故 R是等價(jià)關(guān)系 cRa,aRa 則 aRc 2021年 12月 1日星期三 偏序關(guān)系的證明 27. 設(shè) R是集合 A上的偏序關(guān)系，且 B ? A， 求證： R ? (B B)是 B上的偏序關(guān)系 證明： 1) 對(duì)于 ?x ? B， 一定有： x,x ? B B 因?yàn)?B ? A， 所以 x ? A， 所以一定有： x,x ? R 所以， 一定有 x,x ? R ? (B B)， 所以： R ? (B B)是 自反的 2021年 12月 1日星期三 偏序關(guān)系的證明 27. 設(shè) R是集合 A上的偏序關(guān)系，且 B ? A， 求證： R ? (B B)是 B上的偏序關(guān)系 2) 對(duì)于 ?x, y ? B， 一定有 x,y ? B B 且 y,x ? B B 因?yàn)?R是反對(duì)稱的，所以若有 x,y? R且 y,x? R， 則有 x=y 所以： 若有 x,y ? R ? (B B)且 y,x ? R ? (B B) ， 則有： x,y ? R 且 y,x ? R， 則有： x=y 所以： R ? (B B)是 反對(duì)稱的 2021年 12月 1日星期三 偏序關(guān)系的證明 27. 設(shè) R是集合 A上的偏序關(guān)系，且 B ? A， 求證： R ? (B B)是 B上的偏序關(guān)系 3) 對(duì)于 ?x, y, z ? B， 一定有 x,y, y,z, x,z ? B B 因?yàn)?R是傳遞的 , 所以若有 x,y?R且 y,z?R, 則有 x,z?R 所以： 若有 x,y ? R ? (B B)且 y,z ? R ? (B B) ， 則有： x,z ? R ? (B B) 所以： R ? (B B)是 傳遞的 。故 R ? (B B)是 B上偏序關(guān)系 2021年 12月 1日星期三 設(shè) R1是 A上的等價(jià)關(guān)系， R2是 B上的等價(jià)關(guān)系，A≠?且 B≠?。 關(guān)系 R滿足x1,y1,x2,y2∈ R?x1,x2∈ R1且y1,y2∈ R2，證明 R是 A B上的等價(jià)關(guān)系 2021年 12月 1日星期三 哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素 28. 圖中給出了偏序集 A, ≤的哈斯圖，其中 A= {a,b,c,d,e} 判斷下面各式的真假 1) a ≤ b 2) d ≤ a 3) c ≤ e 4) b ≤ e F 5) a ≤ a 6) b ≤ c 7) d ≤ e T F F T F F c b a d e 2021年 12月 1日星期三 哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素 28. 圖中給出了偏序集 A, ≤的哈斯圖，其中 A= {a,b,c,d,e} 求 A中最大元和最小元 求 A中的極大元和極小元 最大元： a c b a d e 最小元：無 極大元： a 極小元： d 和 e 2021年 12月 1日星期三 28. 圖中給出了偏序集 A, ≤的哈斯圖，其中 A= {a,b,c,d,e} 求下面各子集的上界和下界 并指出它們的上確界和下確界 1) {a, b, c} 2) {b, c, d} 3) {c, d, e} 上界： 下界： 上確界： 下確界： 哈斯圖與偏序集中特殊位置的元素 ac b a d e d a d 上界： 下界： 上確界： 下確界： a d a d 上界： 下界： 上確界： 下確界： a,c 無 c 無 2021年 12月 1日星期三 哈斯圖 設(shè) A={2,5,6,10,15,30}， R是 A上的整除關(guān)系，B={2,5,6,10}，則 B的極小元是 ，極大元是 ，最小元是 ，最大元是 ，上界是 ，下界是 ，上確界是 ，下確界是 。 2021年 12月 1日星期三 函數(shù) 4. 求證：從 N N到 N的函數(shù) f(x, y)=x+y， 和 g(x, y)=xy是滿射函數(shù)，但不是單射函數(shù) 證明： 1) 對(duì)于 ?x ? N， f(x,0)=x+0=x， g(x, 1)=x1=x 因此，總存在 x,0?N N， 使得 f(x, 0) = x， 所以 f是滿射的 且總存在 x,1?N， 使得 g(x, 1) = x， 所以 g是滿射的 2) 因?yàn)橛校?1,3,2,2, 1,4 ? N N ， 且 f(1, 3) = f(2, 2) = 4， 且 g(1, 4) = f(2, 2) = 4 所以 f和 g都不是單射的 2021年 12月 1日星期三 函數(shù) 9. 設(shè) f: A ? B 是滿射函數(shù)，且函數(shù) g: B ? P(A)， 定義為： g(b) = {x|x ? A ∧ f(x)=b} 求證： g是單射的。其逆是否成立？ 證明： 對(duì)于 ? b1, b2 ? B， 且 b1 ≠ b2 由于 f是滿射的，則必存在 a1,a2?A， 使得 f(a1)=b1， f(a2)=b2 g(b1)={x|x?A∧ f(x)=b1}, g(b2)={x|x?A∧ f(x)=b2} 則 對(duì)于 ?x?g(b1)， 有 f(x)=b1， 且有 f(x)≠b2， 即 x ? g(b2) 即 對(duì)于 ? b1, b2 ? B， 且 b1 ≠ b2， 都有 g(b1) ≠ g(b2) 所以， g是單射的 2021年 12月 1日星期三 函數(shù) 設(shè) f: A ? B 是滿射函數(shù)，且函數(shù) g: B ? P(A)，定義為： g(b) = {x|x ? A ∧ f(x)=b} 求證： g是單射的。 設(shè) g?f是復(fù)合函數(shù)，如果 g?f是雙射，那么 f是入射而g是滿 射
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