【正文】 ,]))/。 %直接對(duì) f(x)求數(shù)值導(dǎo)數(shù) gx=g(x)。 %求函數(shù) f的導(dǎo)函數(shù) g在假設(shè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) plot(x,dpx,x,dx,39。g.39。,x,gx,39。r39。)。 %作圖 (1)被積函數(shù)是一個(gè)解析式 函數(shù) quad(f,a,b,tol,trace)用于求被積函數(shù) f(x)在 [a,b]上的定積分， tol是計(jì)算精度，缺省值是 。 trace非 0時(shí)，畫出積分圖形。注意，調(diào)用 quad函數(shù)時(shí)，先要建立一個(gè)描述被積函數(shù) f(x)的函數(shù)文件或語(yǔ)句函數(shù)。當(dāng)被積函數(shù) f含有一個(gè)以上的變量時(shí)， quad函數(shù)的調(diào)用格式為： quad(f,a,b,tol,trace,g1,g2) 其中 f,a,b,tol,trace等參數(shù)的含義同前。 數(shù)值積分函數(shù)還有一種形式 quad8，其用法與 quad完全相同。 例 用兩種不同的方法求積分。 先建立一個(gè)函數(shù)文件 ： function ex=ex(x) ex=exp(x.^2)。 %注意應(yīng)用點(diǎn)運(yùn)算 return 然后，在 MATLAB命令窗口，輸入命令： quad(39。ex39。,0,1,1e6) %注意函數(shù)名應(yīng)加字符引號(hào) quad8(39。ex39。,0,1,1e6) %用另一函數(shù)求積分 例 trapz函數(shù)計(jì)算積分。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： X=0::1。Y=exp(X.^2)。 trapz(X,Y) (2)被積函數(shù)由一個(gè)表格定義 MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用 trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量 X、Y定義函數(shù)關(guān)系 Y=f(X)。 (3)二重積分 例 。 建立一個(gè)函數(shù)文件 ： function f=f(x,y) f=exp(x.^2y.^2)。 return 建立一個(gè)命令文件 ： for i=1:20 int2(i)=quad(39。fixy39。,0,1,[],[],x(i))。 %在二維函數(shù) fixy中以 x=x(i)代入并對(duì) y積分。 end 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： x=linspace(0,1,20)。 ftxy1 trapz(x,int2) 實(shí)際上， MATLAB提供了計(jì)算二重積分的函數(shù)： dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 該函數(shù)求 f(x,y)在 [a,b] [c,d]區(qū)域上的二重積分。參數(shù) tol， trace的用法與函數(shù) quad完全相同。 如果直接使用這里介紹的二重積分函數(shù) dblquad來(lái)求解本例就非常簡(jiǎn)單，命令如下： g=inline(39。exp(x.^2y.^2)39。)。 dblquad(g,0,1,0,1) %直接調(diào)用二重積分函數(shù)求解 常微分方程的數(shù)值求解 基于龍格－庫(kù)塔法， MATLAB提供了求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為： [X,Y]=ode23(f,[x0,xn],y0) [X,Y]=ode45(f,[x0,xn],y0) 其中 X、 Y是兩個(gè)向量， X對(duì)應(yīng)自變量 x在求解區(qū)間 [x1，xn]的一組采樣點(diǎn)，其采樣密度是自適應(yīng)的，無(wú)需指定；Y是與 X對(duì)應(yīng)的一組解， f是一個(gè)函數(shù)， [x0， xn]代表自變量的求解區(qū)間， y0=y(x0)，由方程的初值給定。函數(shù)在求解區(qū)間 [x0， xn]內(nèi)，自動(dòng)設(shè)立采樣點(diǎn)向量 X，并求出解函數(shù) y在采樣點(diǎn) X處的樣本值。 例 求微分方程初值問題在 [1， 3]區(qū)間內(nèi)的數(shù)值解，并將結(jié)果與解析解進(jìn)行比較。 先建立一個(gè)該函數(shù)的 m文件 ： function f=f(x,y) f=2.*y./x+4*x %注意使用點(diǎn)運(yùn)算符 return 再輸入命令： [X,Y]=ode45(39。fxy139。,[1,3],2)。 X39。 %顯示自變量的一組采樣點(diǎn) Y39。 %顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組數(shù)值解 (X.^2+1./X.^2)39。 %顯示求解函數(shù)與采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一組解析解 例 求解初值問題在區(qū)間 [0， 2]中的解。 建立一個(gè)函數(shù)文件 ： function f=f(x,y) f(2)=x.*y(2)+x.^25。 f(1)=y(2)。 f=f39。 return 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： [X,Y]=ode45(39。fxy239。,[0,2],[5,6])。 [X,Y] 非線性方程的數(shù)值求解 1．單變量非線性方程求解 MATLAB中，提供了求解單變量方程的函數(shù)fzero(f,x0,tol)，該函數(shù)采用迭代法計(jì)算函數(shù) f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，迭代初值為 x0，當(dāng)兩次迭代結(jié)果小于 tol時(shí)停止迭代過(guò)程。 tol的缺省值是 eps。 注意，在調(diào)用函數(shù) fzero 之前，要使用 m文件建立自己要計(jì)算的函數(shù) f(x)，只有定義了函數(shù) f(x)的 m文件后，才能在 fzero函數(shù)的參數(shù)中使用自定義函數(shù)名。 例 求 f(x)=x+5 在 x0=5和 x0=1作為迭代初值時(shí)的零點(diǎn)。 先編制一個(gè)函數(shù)文件 ： function f=f(x) f=x1/x+5。 然后，在 MATLAB命令窗口，輸入命令： fzero(39。fz39。,5) %以 5作為迭代初值 Zero found in the interval: [, ]. fzero(39。fz39。,1) 2．非線性方程組求解 函數(shù) fsolve調(diào)用格式為： X=fsolve(F,X0) 例 求方程組在 (1， 1， 1)附近的解并對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。 首先建立方程的函數(shù)文件 ： function F=F(X) x=X(1)。y=X(2)。z=X(3)。 F(1)=sin(x)+y+z^2*exp(x)。 F(2)=x+y*z。 F(3)=x*y*z。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： X=fsolve(39。fxyz139。,[1,1,1]) %求解 X的三個(gè)分量 x、 y、 z Y=fxyz1(X) %檢驗(yàn)所求結(jié)果 X是否滿足原方程組 norm(Y) %求 Y向量的模 例 求圓和直線的兩個(gè)交點(diǎn)。 建立方程組函數(shù)文件 ： function F=F(X) x=X(1)。y=X(2)。z=X(3)。 F(1)=x^2+y^2+z^29。 F(2)=3*x+5*y+6*z。 F(3)=x3*y6*z1。 在 MATLAB命令窗口，輸入命令： X1=fsolve(39。fxyz239。,[1,1,1]) %求直線與球面的第一個(gè)交點(diǎn) X2=fsolve(39。fxyz239。,[1,1,1]) %求直線與球面的第二個(gè)交點(diǎn) 稀疏矩陣 矩陣存儲(chǔ)方式 1. 矩陣的完全存儲(chǔ)模式 2. 稀疏矩陣的存儲(chǔ)方式 稀疏存儲(chǔ)方式的產(chǎn)生與轉(zhuǎn)化 1. 將一個(gè)完全存儲(chǔ)方式的轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式 函數(shù) B=sparse(A)將矩陣 A轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式的矩陣 B。 sparse函數(shù)還有其他一些格式： sparse(m,n) 生成一個(gè) m n的所有元素都是 0的稀疏矩陣。 sparse(u,v,S) u、 v、 S是三個(gè)等長(zhǎng)的向量。 此外，還有一些和稀疏矩陣操作有關(guān)的函數(shù)。例如 [U,V,S]=find(A) 返回矩陣 A中非 0元素的下標(biāo)和元素。這里產(chǎn)生的 U、 V、S可作為 sparse(u,v,s)的參數(shù)。 full(A) 返回和稀疏存儲(chǔ)矩陣 A對(duì)應(yīng)的完全存儲(chǔ)方式矩陣。 2. 產(chǎn)生一個(gè)稀疏矩陣 把要建立的稀疏矩陣的非 0元素及其所在行和列的位置表示出來(lái)后由 MATLAB自己產(chǎn)生其稀疏存儲(chǔ)方式，這需要使用 spconvert函數(shù)。調(diào)用格式為： B=spconvert(A) 其中 A為一個(gè) m 3或 m 4的矩陣，其每行表示一個(gè)非 0元素， m是非 0元素的個(gè)數(shù)。 3. 單位稀疏矩陣的產(chǎn)生 單位矩陣只有對(duì)角線元素為 1，其他元素都為 0，是一種具有稀疏特征的矩陣。我們知道，函數(shù) eye產(chǎn)生一個(gè)完全存儲(chǔ)方式的單位矩陣。 MATLAB還有一個(gè)產(chǎn)生稀疏存儲(chǔ)方式的單位矩陣的函數(shù)，這就是 speye。函數(shù)speye(m,n)返回一個(gè) m n的稀疏存儲(chǔ)單位矩陣。