遼寧工業(yè)大學(xué)高數(shù)習(xí)題課(9)-資料下載頁
2025-10-09 21:02本頁面
【正文】 被積函數(shù)含有抽象函數(shù) ，如果直接計(jì)算很難求出。 ??????zyf考慮到 為封閉曲面，而且 ?)(3 222 zyxzRyQxP ???????????因此可考慮應(yīng)用高斯公式，即采用框圖中線路 1的方法計(jì)算。 解： 令 ， ， ，則 3xP ? 31 yzyfzQ ???????? 31 zzyfzR ????????23 xxP ??? 22 31 yzyfzyQ ??????????? 22 31 zzyfzzR ????????????， ， ， 圍成的區(qū)域?yàn)? （如圖） ? ?應(yīng)用高斯公式，得 ???? ????????? dx dy dzzRyQxPI )(??????? d xd y d zzyx )(3 222 xyzo2??n?n?于是，計(jì)算得 ??????? dx dy dzzyxI )(3 222??? ?? ?????? 2 222 0 2 0 )(3 dzzdd? ?????????? 2 0 332 )31382(6 d? ???????? 2 0 43 )486(2 d20524 )54423(2 ????????? 5144在柱面坐標(biāo)系下， ： ， ， ? 2??? z 20 ??? ???? 20分析 本題為沿空間曲線的積分，從所給曲線來看 , 若采用 【 例 7】 計(jì)算 ? ??????L dzyxdyxzdxzyI 222222 )3()2()(其中 是平面 與柱面 的交線， L 2??? zyx 1|||| ?? yx從 軸正向看去， 為逆時(shí)針方向。 z L參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算比較困難。現(xiàn)利用 Stokes公式將 曲線積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。但要注意將曲面積分轉(zhuǎn)化 為二重積分時(shí)，曲面 的側(cè)與曲線 的方向符合右手規(guī)則， ? L從而正確決定二重積分的正負(fù)號(hào)。 解 : 設(shè) 為平面 上 所圍成部分的上側(cè)， 為 ? 2??? zyx L D? 在 坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，則 ； xoy 1|||| : ?? yxD由 Stokes公式，得 ????????????? dSyxxzzyzyxI 32313131 222222??????? dSzyx )324(32?? ???????Ddx dyyxyx 3)33624(322412)6(2 ??????? ????DDd xd yd xd yyx【 例 8】 設(shè) ，求 。 222 zyxr ???)2,2,1()gr ad(d i v ?r分析 按梯度、散度定義直接計(jì)算即可。 解 : 由于 ???????????? kzrjyrixrrg r a d ??? ??? krzjryirx所以 ???????????????????????????rzxryxrxxr )g r a d(d i vrrzrryrrxr 2322322322???????從而 322)2(12)g r a d(d i v222)2,2,1(??????r
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